Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 7 x^{- 2} + 16 x^{- 3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 7 x^{- 2} + 16 x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 2$ par $- 7$ .

$14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$14 x^{- 3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$14 x^{- 3} + 16 (- 3 x^{- 4})$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 3$ par $16$ .

$14 x^{- 3} - 48 x^{- 4}$

Étape 1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$14 \frac{1}{x^{3}} - 48 x^{- 4}$

Étape 1.4.2

Associez $14$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{14}{x^{3}} - 48 x^{- 4}$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{14}{x^{3}} - 48 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.4.4

Associez $- 48$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{14}{x^{3}} + \frac{- 48}{x^{4}}$

Étape 1.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{14}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{48}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{14}{x^{3}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{14}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 14 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 14 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{3}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 14 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{3}$ .

$f'' (x) = 14 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 14 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 14 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 14 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Étape 2.2.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 14 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Étape 2.2.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = 14 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Étape 2.2.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 14 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Étape 2.2.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$f'' (x) = 14 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Étape 2.2.8

Multipliez $- 3$ par $14$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{48}{x^{4}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{48}{x^{4}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{48}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{4}}$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 \frac{d}{d x} {(x^{4})}^{- 1}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{4}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Étape 2.3.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Étape 2.3.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Étape 2.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- 4 x^{3 - 8})$

Étape 2.3.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} - 48 (- 4 x^{- 5})$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 4$ par $- 48$ .

$f'' (x) = - 42 x^{- 4} + 192 x^{- 5}$

Étape 2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 42 \frac{1}{x^{4}} + 192 x^{- 5}$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 42 \frac{1}{x^{4}} + 192 (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.4.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1

Associez $- 42$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 42}{x^{4}} + 192 (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{42}{x^{4}} + 192 (\frac{1}{x^{5}})$

Étape 2.4.3.3

Associez $192$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{42}{x^{4}} + \frac{192}{x^{5}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 7 x^{- 2} + 16 x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 2$ par $- 7$ .

$14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x^{- 3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$14 x^{- 3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$14 x^{- 3} + 16 (- 3 x^{- 4})$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $16$ .

$14 x^{- 3} - 48 x^{- 4}$

Étape 4.1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$14 \frac{1}{x^{3}} - 48 x^{- 4}$

Étape 4.1.4.2

Associez $14$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{14}{x^{3}} - 48 x^{- 4}$

Étape 4.1.4.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{14}{x^{3}} - 48 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 4.1.4.4

Associez $- 48$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{14}{x^{3}} + \frac{- 48}{x^{4}}$

Étape 4.1.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$ .

$\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}} = 0$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{3}, x^{4}, 1$

Étape 5.2.2

Comme $x^{3}, x^{4}, 1$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{3}, x^{4}$ .

Étape 5.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 5.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 5.2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 5.2.6

Les facteurs pour $x^{3}$ sont $x \cdot x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $3$ fois.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ se produit $3$ fois.

Étape 5.2.7

Les facteurs pour $x^{4}$ sont $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $4$ fois.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ se produit $4$ fois.

Étape 5.2.8

Le plus petit multiple commun de $x^{3}, x^{4}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x \cdot x \cdot x$

Étape 5.2.9

Simplifiez $x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.9.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x$

Étape 5.2.9.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.9.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.9.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x$

Étape 5.2.9.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 1} \cdot x$

Étape 5.2.9.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{3} \cdot x$

Étape 5.2.9.3

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.9.3.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.9.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1}$

Étape 5.2.9.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3 + 1}$

Étape 5.2.9.3.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{4}$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}} = 0$ par $x^{4}$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}} = 0$ par $x^{4}$ .

$\frac{14}{x^{3}} x^{4} - \frac{48}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{14}{x^{3}} (x^{3} x) - \frac{48}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 5.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{14}{x^{3}} (x^{3} x) - \frac{48}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 5.3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$14 x - \frac{48}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{48}{x^{4}}$ dans le numérateur.

$14 x + \frac{- 48}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$14 x + \frac{- 48}{x^{4}} x^{4} = 0 x^{4}$

Étape 5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$14 x - 48 = 0 x^{4}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{4}$ .

$14 x - 48 = 0$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Ajoutez $48$ aux deux côtés de l’équation.

$14 x = 48$

Étape 5.4.2

Divisez chaque terme dans $14 x = 48$ par $14$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Divisez chaque terme dans $14 x = 48$ par $14$ .

$\frac{14 x}{14} = \frac{48}{14}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $14$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 x}{14} = \frac{48}{14}$

Étape 5.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{48}{14}$

Étape 5.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.3.1

Annulez le facteur commun à $48$ et $14$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $48$ .

$x = \frac{2 (24)}{14}$

Étape 5.4.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$x = \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 7}$

Étape 5.4.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 7}$

Étape 5.4.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{24}{7}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{14}{x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 6.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{48}{x^{4}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{4} = 0$

Étape 6.4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Étape 6.4.2

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Étape 6.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.4.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{24}{7}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{24}{7}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{42}{{(\frac{24}{7})}^{4}} + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{24}{7}$ .

$- \frac{42}{\frac{24^{4}}{7^{4}}} + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Étape 9.1.1.2

Élevez $24$ à la puissance $4$ .

$- \frac{42}{\frac{331776}{7^{4}}} + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Étape 9.1.1.3

Élevez $7$ à la puissance $4$ .

$- \frac{42}{\frac{331776}{2401}} + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Étape 9.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (42 (\frac{2401}{331776})) + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.3.1

Factorisez $6$ à partir de $42$ .

$- (6 (7) \frac{2401}{331776}) + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Étape 9.1.3.2

Factorisez $6$ à partir de $331776$ .

$- (6 \cdot 7 \frac{2401}{6 \cdot 55296}) + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Étape 9.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$- (6 \cdot 7 \frac{2401}{6 \cdot 55296}) + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Étape 9.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$- (7 (\frac{2401}{55296})) + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Étape 9.1.4

Associez $7$ et $\frac{2401}{55296}$ .

$- \frac{7 \cdot 2401}{55296} + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Étape 9.1.5

Multipliez $7$ par $2401$ .

$- \frac{16807}{55296} + \frac{192}{{(\frac{24}{7})}^{5}}$

Étape 9.1.6

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{24}{7}$ .

$- \frac{16807}{55296} + \frac{192}{\frac{24^{5}}{7^{5}}}$

Étape 9.1.6.2

Élevez $24$ à la puissance $5$ .

$- \frac{16807}{55296} + \frac{192}{\frac{7962624}{7^{5}}}$

Étape 9.1.6.3

Élevez $7$ à la puissance $5$ .

$- \frac{16807}{55296} + \frac{192}{\frac{7962624}{16807}}$

Étape 9.1.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{16807}{55296} + 192 (\frac{16807}{7962624})$

Étape 9.1.8

Annulez le facteur commun de $192$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.8.1

Factorisez $192$ à partir de $7962624$ .

$- \frac{16807}{55296} + 192 \frac{16807}{192 (41472)}$

Étape 9.1.8.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{16807}{55296} + 192 \frac{16807}{192 \cdot 41472}$

Étape 9.1.8.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{16807}{55296} + \frac{16807}{41472}$

Étape 9.2

Pour écrire $- \frac{16807}{55296}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16807}{55296} \cdot \frac{3}{3} + \frac{16807}{41472}$

Étape 9.3

Pour écrire $\frac{16807}{41472}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{16807}{55296} \cdot \frac{3}{3} + \frac{16807}{41472} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 9.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $165888$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.1

Multipliez $\frac{16807}{55296}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16807 \cdot 3}{55296 \cdot 3} + \frac{16807}{41472} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 9.4.2

Multipliez $55296$ par $3$ .

$- \frac{16807 \cdot 3}{165888} + \frac{16807}{41472} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 9.4.3

Multipliez $\frac{16807}{41472}$ par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{16807 \cdot 3}{165888} + \frac{16807 \cdot 4}{41472 \cdot 4}$

Étape 9.4.4

Multipliez $41472$ par $4$ .

$- \frac{16807 \cdot 3}{165888} + \frac{16807 \cdot 4}{165888}$

Étape 9.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 16807 \cdot 3 + 16807 \cdot 4}{165888}$

Étape 9.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.6.1

Multipliez $- 16807$ par $3$ .

$\frac{- 50421 + 16807 \cdot 4}{165888}$

Étape 9.6.2

Multipliez $16807$ par $4$ .

$\frac{- 50421 + 67228}{165888}$

Étape 9.6.3

Additionnez $- 50421$ et $67228$ .

$\frac{16807}{165888}$

Étape 10

$x = \frac{24}{7}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{24}{7}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{24}{7}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{24}{7}$ dans l’expression.

$f (\frac{24}{7}) = - 7 {(\frac{24}{7})}^{- 2} + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$f (\frac{24}{7}) = - 7 {(\frac{7}{24})}^{2} + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{24}$ .

$f (\frac{24}{7}) = - 7 \frac{7^{2}}{24^{2}} + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Étape 11.2.1.3

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{24}{7}) = - 7 \frac{49}{24^{2}} + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Étape 11.2.1.4

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{24}{7}) = - 7 (\frac{49}{576}) + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $- 7 (\frac{49}{576})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.5.1

Associez $- 7$ et $\frac{49}{576}$ .

$f (\frac{24}{7}) = \frac{- 7 \cdot 49}{576} + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Étape 11.2.1.5.2

Multipliez $- 7$ par $49$ .

$f (\frac{24}{7}) = \frac{- 343}{576} + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Étape 11.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + 16 {(\frac{24}{7})}^{- 3}$

Étape 11.2.1.7

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + 16 {(\frac{7}{24})}^{3}$

Étape 11.2.1.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{24}$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + 16 (\frac{7^{3}}{24^{3}})$

Étape 11.2.1.9

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + 16 (\frac{343}{24^{3}})$

Étape 11.2.1.10

Élevez $24$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + 16 (\frac{343}{13824})$

Étape 11.2.1.11

Annulez le facteur commun de $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.11.1

Factorisez $16$ à partir de $13824$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + 16 (\frac{343}{16 (864)})$

Étape 11.2.1.11.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + 16 (\frac{343}{16 \cdot 864})$

Étape 11.2.1.11.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} + \frac{343}{864}$

Étape 11.2.2

Pour écrire $- \frac{343}{576}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} \cdot \frac{3}{3} + \frac{343}{864}$

Étape 11.2.3

Pour écrire $\frac{343}{864}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{576} \cdot \frac{3}{3} + \frac{343}{864} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 11.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $1728$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.1

Multipliez $\frac{343}{576}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343 \cdot 3}{576 \cdot 3} + \frac{343}{864} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $576$ par $3$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343 \cdot 3}{1728} + \frac{343}{864} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 11.2.4.3

Multipliez $\frac{343}{864}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343 \cdot 3}{1728} + \frac{343 \cdot 2}{864 \cdot 2}$

Étape 11.2.4.4

Multipliez $864$ par $2$ .

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343 \cdot 3}{1728} + \frac{343 \cdot 2}{1728}$

Étape 11.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{24}{7}) = \frac{- 343 \cdot 3 + 343 \cdot 2}{1728}$

Étape 11.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.6.1

Multipliez $- 343$ par $3$ .

$f (\frac{24}{7}) = \frac{- 1029 + 343 \cdot 2}{1728}$

Étape 11.2.6.2

Multipliez $343$ par $2$ .

$f (\frac{24}{7}) = \frac{- 1029 + 686}{1728}$

Étape 11.2.6.3

Additionnez $- 1029$ et $686$ .

$f (\frac{24}{7}) = \frac{- 343}{1728}$

Étape 11.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{24}{7}) = - \frac{343}{1728}$

Étape 11.2.8

La réponse finale est $- \frac{343}{1728}$ .

$y = - \frac{343}{1728}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - 7 x^{- 2} + 16 x^{- 3}$ .

$(\frac{24}{7}, - \frac{343}{1728})$ est un minimum local

Étape 13