Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 \sin (2 x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$16 x + 8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$16 x + 8 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$16 x + 8 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$16 x + 8 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Étape 1.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$16 x + 8 (2 \cdot \cos (2 x))$

Étape 1.3.7

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 x + 16 \cos (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 x + 16 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [16 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Étape 2.2.3

Multipliez $16$ par $1$ .

$f'' (x) = 16 + \frac{d}{d x} (16 \cos (2 x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 \cos (2 x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 16 + 16 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Étape 2.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 16 + 16 (- 2 \sin (2 x))$

Étape 2.3.7

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$f'' (x) = 16 - 32 \sin (2 x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$16 x + 16 \cos (2 x) = 0$

Étape 4

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 0.51493326$

Étape 5

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 0.51493326$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$16 - 32 \sin (2 (- 0.51493326))$

Étape 6

Multipliez $2$ par $- 0.51493326$ .

$16 - 32 \sin (- 1.02986652)$

Étape 7

$x = - 0.51493326$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 0.51493326$ est un minimum local

Étape 8

Déterminez la valeur y quand $x = - 0.51493326$ .

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.51493326$ dans l’expression.

$f (- 0.51493326) = 8 {(- 0.51493326)}^{2} + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $- 0.51493326$ à la puissance $2$ .

$f (- 0.51493326) = 8 \cdot 0.26515626 + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $8$ par $0.26515626$ .

$f (- 0.51493326) = 2.12125013 + 8 \sin (2 (- 0.51493326))$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 0.51493326$ .

$f (- 0.51493326) = 2.12125013 + 8 \sin (- 1.02986652)$

Étape 8.2.2

Additionnez $2.12125013$ et $8 \sin (- 1.02986652)$ .

$f (- 0.51493326) = - 4.73659201$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $- 4.73659201$ .

$y = - 4.73659201$

Étape 9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 8 x^{2} + 8 \sin (2 x)$ .

$(- 0.51493326, - 4.73659201)$ est un minimum local

Étape 10