Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 \sqrt{x} e^{- x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Étape 1.1.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 1.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 1.4.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 1.4.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 1.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 1.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 1.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 1.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 1.10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 1.11

Associez $e^{- x}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 1.12

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.13

Simplifiez

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Étape 1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.2

Associez des termes.

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Étape 1.13.2.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.2.2

Associez $8$ et $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{8 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.2.3

Factorisez $2$ à partir de $8 e^{- x}$ .

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.2.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.13.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.13.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} (e^{- x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{- x}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 (e^{- x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.13

Associez $e^{- x}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.14

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.15

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1)) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.16

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2.17

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{- x}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.3.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.3.9

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.3.10

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.3.11

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.3.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.13.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.3.13.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.3.15

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.3.16

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{x^{- \frac{1}{2}} e^{- x}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.3.17

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.3.18

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.18.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 2.3.18.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.18.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 2.3.18.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x})$

Étape 2.3.19

Simplifiez

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x})$

Étape 2.3.20

Associez $4$ et $\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ .

$f'' (x) = - 8 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.4.3.1

Associez $- 8$ et $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8 e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.3.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 4 e^{- x})}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{2 (- 4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{- 4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} - 8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.3.6

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 4 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.3.7

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 4 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.4.3.8

Associez $- 4$ et $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.4.3.9

Factorisez $2$ à partir de $- 4 e^{- x}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (- 2 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.4.3.10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.3.10.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (- 2 e^{- x})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{x}$

Étape 2.4.3.10.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (- 2 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.4.3.10.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.4.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.4.3.12

Pour écrire $- \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.4.3.13

Pour écrire $\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.4.3.14

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x \cdot x^{\frac{1}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.3.14.1

Multipliez $\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{1}{2}} x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.4.3.14.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.3.14.2.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 2.4.3.14.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{1}{2}} x} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.4.3.14.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.4.3.14.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.4.3.14.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.4.3.14.2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.4.3.14.3

Multipliez $\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.4.3.14.4

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.3.14.4.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.4.3.14.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.4.3.14.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 2.4.3.14.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 2.4.3.14.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 2.4.3.14.4.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{4 e^{- x} x}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.4.3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 e^{- x} x + (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.4.3.16

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 4 e^{- x} x + (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.4.3.16.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 2.4.3.16.1.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x e^{- x} + (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.4.3.16.1.2

Remettez dans l’ordre $- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 4 x e^{- x} + x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.4.3.16.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 4 x e^{- x}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.4.3.16.3

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.4.3.17

Soustrayez $4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ de $- 4 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.4.3.18

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 2.4.3.19

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.3.19.1

Multipliez $x^{\frac{3}{2}}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.3.19.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}}$

Étape 2.4.3.19.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3 - 1}{2}}}$

Étape 2.4.3.19.1.3

Soustrayez $1$ de $3$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.3.19.1.4

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.4.3.19.2

Simplifiez $x^{1}$ .

$f'' (x) = 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.4.3.20

Pour écrire $8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} x}{x} + \frac{- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.4.3.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} x - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.4.3.22

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) e^{- x} - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.4.3.23

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{8 x^{1 + \frac{1}{2}} e^{- x} - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.4.3.24

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{8 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} e^{- x} - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.4.3.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{8 x^{\frac{2 + 1}{2}} e^{- x} - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.4.3.26

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{\frac{3}{2}} e^{- x} - 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{8 e^{- x} x^{\frac{3}{2}} - 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.5.1

Factorisez $2 e^{- x}$ à partir de $8 e^{- x} x^{\frac{3}{2}} - 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.5.1.1

Factorisez $2 e^{- x}$ à partir de $8 e^{- x} x^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.4.5.1.2

Factorisez $2 e^{- x}$ à partir de $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}}) + 2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.4.5.1.3

Factorisez $2 e^{- x}$ à partir de $- \frac{2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}}) + 2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}}) + 2 e^{- x} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.1.4

Factorisez $2 e^{- x}$ à partir de $2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}}) + 2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}}) + 2 e^{- x} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.1.5

Factorisez $2 e^{- x}$ à partir de $2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}}) + 2 e^{- x} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.2

Pour écrire $4 x^{\frac{3}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.5.4.1

Multipliez $x^{\frac{3}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.5.4.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.4.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{1 + 3}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.4.1.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{\frac{4}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.4.1.5

Divisez $4$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{2} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.4.2

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(2 x)}^{2} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.4.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.4.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.5

Pour écrire $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (- 4 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.6

Associez $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.5.8.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.5.8.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.8.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x^{\frac{1 + 1}{2}} + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.8.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x^{\frac{2}{2}} + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.8.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.8.2

Simplifiez $- 4 x^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + (2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.8.3

Développez $(2 x + 1) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.5.8.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.8.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.8.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.8.4

Associez les termes opposés dans $2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.4.5.8.4.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 x \cdot - 1$ et $1 (2 x)$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x) - 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot (2 x) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.8.4.2

Additionnez $- 1 \cdot 2 x$ et $1 \cdot 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.8.4.3

Additionnez $2 x (2 x)$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.8.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.5.8.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 \cdot (2 x \cdot x) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.8.5.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.5.8.5.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.8.5.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 2 \cdot (2 x^{2}) + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.8.5.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 4 x^{2} + 1 \cdot - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.8.5.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{- 4 x + 4 x^{2} - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.8.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (\frac{4 x^{2} - 4 x - 1}{x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Étape 2.4.5.9

Associez les exposants.

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Étape 2.4.5.9.1

Associez $\frac{4 x^{2} - 4 x - 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(4 x^{2} - 4 x - 1) \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot e^{- x}}{x}$

Étape 2.4.5.9.2

Associez $\frac{(4 x^{2} - 4 x - 1) \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ et $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(4 x^{2} - 4 x - 1) \cdot (2 e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.4.5.10

Déplacez $2$ à gauche de $4 x^{2} - 4 x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Étape 2.4.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.4.7

Associez.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 2.4.8

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.8.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 2.4.8.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Étape 2.4.8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 2.4.8.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.8.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 2.4.8.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x} \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.4.9

Multipliez $2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.4.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{2 (4 x^{2} - 4 x - 1) e^{- x}}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Étape 4.1.1.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Étape 4.1.2

$8 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 4.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.1.4

Différenciez.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.1.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.1.4.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.1.4.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.1.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 4.1.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 4.1.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 4.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 4.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 4.1.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 4.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 4.1.10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 4.1.11

Associez $e^{- x}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 4.1.12

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.13

Simplifiez

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Étape 4.1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.13.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.13.2.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 8 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.13.2.2

Associez $8$ et $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{8 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.13.2.3

Factorisez $2$ à partir de $8 e^{- x}$ .

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.13.2.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.13.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.1.13.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{2 (4 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.13.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 8 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.2

Déterminez un facteur commun $e^{- 1 x}$ présent dans chaque terme.

$- 8 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.3

Remplacez $e^{- 1 x}$ par $u$ .

$- 8 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4

Résolvez $u$ .

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Étape 5.4.1

Placez $\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ du côté droit de l’équation en le soustrayant des deux côtés.

$- 8 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4.2

Simplifiez $- 8 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}}$ .

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Étape 5.4.2.1

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- 8 {(e x^{- x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4.2.2

Appliquez la règle de produit à $e x^{- x}$ .

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} {(x^{- x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4.2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{- x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}}$ .

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Étape 5.4.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x \frac{2 x - 1}{2 x}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4.2.3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.2.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{x \cdot - 1 \frac{2 x - 1}{2 x}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4.2.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{x \cdot - 1 \frac{2 x - 1}{x \cdot 2}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4.2.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{x \cdot - 1 \frac{2 x - 1}{x \cdot 2}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4.2.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$- 8 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}) = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

$- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} = - \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.4.3.1

Ajoutez $\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ aux deux côtés de l’équation.

$- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.2

Pour écrire $- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.3

Associez $- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}$ et $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 4 e^{- x}$ .

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Étape 5.4.3.5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 e^{- x}$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 (e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 4 (e^{- x})$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2

Multipliez $x^{- \frac{2 x - 1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.3.5.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} (x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}) + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1}{2} - \frac{2 x - 1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - (2 x - 1)}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.5.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - (2 x) - - 1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - 2 x - - 1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - 2 x + 1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{- 2 x + 2}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.6

Annulez le facteur commun à $- 2 x + 2$ et $2$ .

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Étape 5.4.3.5.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x) + 2}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.6.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x) + 2 \cdot 1}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x + 1)}{2}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.6.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.5.2.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x + 1)}{2 (1)}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.6.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x + 1)}{2 \cdot 1}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.6.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{- x + 1}{1}} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.5.2.6.4.4

Divisez $- x + 1$ par $1$ .

$\frac{4 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}$ .

$\frac{4 (- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}) + e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $e^{- x}$ .

$\frac{4 (- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}) - 1 (- e^{- x}))}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}) - 1 (- e^{- x})$ .

$\frac{4 (- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x}))}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.9

Réécrivez $- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})$ comme $- 1 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})$ .

$\frac{4 (- 1 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x}))}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.4.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.5

Remplacez $u$ par $x$ .

$- \frac{4 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.6

Factorisez $4 e^{- x}$ à partir de $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $4 e^{- x}$ à partir de $- 8 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.6.2

Factorisez $4 e^{- x}$ à partir de $\frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 4 e^{- x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Étape 5.6.3

Factorisez $4 e^{- x}$ à partir de $4 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 4 e^{- x} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Étape 5.7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.8

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.8.1

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ .

$e^{- x} = 0$

Étape 5.8.2

Résolvez $e^{- x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.8.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Étape 5.8.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.8.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x} = 0$

Aucune solution

Étape 5.9

Définissez $- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.9.1

Définissez $- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ égal à $0$ .

$- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.9.2

Résolvez $- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.9.2.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.9.2.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

Étape 5.9.2.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.9.2.2

Multiplier chaque terme dans $- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ par $x^{\frac{1}{2}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.9.2.2.1

Multipliez chaque terme dans $- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.9.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.9.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.9.2.2.2.1.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.9.2.2.2.1.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.9.2.2.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.9.2.2.2.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.9.2.2.2.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 x^{\frac{2}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.9.2.2.2.1.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$- 2 x^{1} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.9.2.2.2.1.2

Simplifiez $- 2 x^{1}$ .

$- 2 x + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.9.2.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.9.2.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 x + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.9.2.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 x + 1 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.9.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.9.2.2.3.1

Multipliez $0$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 x + 1 = 0$

Étape 5.9.2.3

Résolvez l’équation.

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Étape 5.9.2.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 1$

Étape 5.9.2.3.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.9.2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 5.9.2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.9.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.9.2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 5.9.2.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 5.9.2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.9.2.3.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 5.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- 8 e^{- x} \sqrt{x^{1}} + \frac{4 e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- 8 e^{- x} \sqrt{x^{1}} + \frac{4 e^{- x}}{\sqrt{x^{1}}}$

Étape 6.1.3

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- 8 e^{- x} \sqrt{x} + \frac{4 e^{- x}}{\sqrt{x^{1}}}$

Étape 6.1.4

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- 8 e^{- x} \sqrt{x} + \frac{4 e^{- x}}{\sqrt{x}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 e^{- x}}{\sqrt{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x = 0^{2}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 6.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 6.5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{1}{2}, 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2 e^{- (\frac{1}{2})} (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Placez $e^{- (\frac{1}{2})}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2 (4 \frac{1}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 (4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (1 - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 (1 + 2 (- 2) \frac{1}{2} - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2} - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (1 - 2 - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.6

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{2 (- 1 - 1)}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.7

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{{(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{\frac{1^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2 \cdot - 2}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.4

Associez les fractions.

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Étape 9.4.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{- 4}{\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.4.2

Associez $\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}$ et $e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 4}{\frac{e^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Étape 9.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- 4 \frac{2^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.6

Multipliez $- 4 \frac{2^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 9.6.1

Associez $- 4$ et $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.6.2

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- (4 \cdot 2^{\frac{3}{2}})}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.6.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{- (2^{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}})}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2^{2 + \frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.6.5

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.6.6

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.6.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.6.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.6.8.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 2^{\frac{4 + 3}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.6.8.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$\frac{- 2^{\frac{7}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2^{\frac{7}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10

$x = \frac{1}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1}{2}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1}{2}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = 8 \sqrt{\frac{1}{2}} e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (\frac{1}{2}) = 8 \sqrt{\frac{1}{2}} e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 11.2.2

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 11.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 11.2.4

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 11.2.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.5.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 11.2.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 11.2.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 11.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 11.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 11.2.5.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 11.2.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 11.2.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 11.2.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 11.2.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 11.2.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 11.2.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{1}{2}) = 8 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 11.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (4) (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 11.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (4 (\frac{\sqrt{2}}{2})) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 11.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = 4 \sqrt{2} e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 11.2.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4 \sqrt{2} (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 11.2.8

Multipliez $4 \sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 11.2.8.1

Associez $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ et $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \sqrt{2}$

Étape 11.2.8.2

Associez $\frac{4}{e^{\frac{1}{2}}}$ et $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{4 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 11.2.9

La réponse finale est $\frac{4 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{4 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{{(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 13.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{0^{3}}$

Étape 13.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{0}$

Étape 13.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 14

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 15