Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 \sqrt{3} \sin (x) - 8 \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 \sqrt{3} \sin (x) - 8 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \sin (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $8 \sqrt{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 \sqrt{3} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$8 \sqrt{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$8 \sqrt{3} \cos (x) - 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$8 \sqrt{3} \cos (x) - 8 (- \sin (x))$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 \sqrt{3} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \cos (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $8 \sqrt{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 \sqrt{3} \cos (x)$ par rapport à $x$ est $8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 8 \sqrt{3} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f'' (x) = - 8 \sqrt{3} \sin (x) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 \sin (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 8 \sqrt{3} \sin (x) + 8 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 8 \sqrt{3} \sin (x) + 8 \cos (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin (x) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{8 \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 5.2

Divisez $8 \sqrt{3}$ par $1$ .

$8 \sqrt{3} + \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6

Séparez les fractions.

$8 \sqrt{3} + \frac{8}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$8 \sqrt{3} + \frac{8}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 8

Divisez $8$ par $1$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 9

Séparez les fractions.

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 10

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 11

Divisez $0$ par $1$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 12

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = 0$

Étape 13

Soustrayez $8 \sqrt{3}$ des deux côtés de l’équation.

$8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$

Étape 14

Divisez chaque terme dans $8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 14.1

Divisez chaque terme dans $8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$ par $8$ .

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

Étape 14.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 14.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 14.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

Étape 14.2.1.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

Étape 14.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.3.1

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $8$ .

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Étape 14.3.1.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8 \sqrt{3}$ .

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8}$

Étape 14.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.3.1.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8 (1)}$

Étape 14.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8 \cdot 1}$

Étape 14.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{1}$

Étape 14.3.1.2.4

Divisez $- \sqrt{3}$ par $1$ .

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Étape 15

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Étape 16

Simplifiez le côté droit.

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Étape 16.1

La valeur exacte de $\arctan (- \sqrt{3})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Étape 17

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Étape 18

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 18.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Étape 18.2

L’angle résultant de $\frac{2 π}{3}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 19

La solution de l’équation est $x = - \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

Étape 20

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{π}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 8 \sqrt{3} \sin (- \frac{π}{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 21

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 21.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 21.1.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 8 \sqrt{3} \sin (\frac{5 π}{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 21.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- 8 \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 21.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 21.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 21.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$- 8 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 21.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8 \sqrt{3}$ .

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 21.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 21.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$- 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 21.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$4 \sqrt{3} \sqrt{3} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 21.1.6

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 21.1.7

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 21.1.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 21.1.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 {\sqrt{3}}^{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 21.1.10

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 21.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 21.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 21.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 21.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 21.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 21.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$4 \cdot 3^{1} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 21.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$4 \cdot 3 + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 21.1.11

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 21.1.12

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$12 + 8 \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 21.1.13

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$12 + 8 \cos (\frac{π}{3})$

Étape 21.1.14

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$12 + 8 (\frac{1}{2})$

Étape 21.1.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 21.1.15.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$12 + 2 (4) \frac{1}{2}$

Étape 21.1.15.2

Annulez le facteur commun.

$12 + 2 \cdot 4 \frac{1}{2}$

Étape 21.1.15.3

Réécrivez l’expression.

$12 + 4$

Étape 21.2

Additionnez $12$ et $4$ .

$16$

Étape 22

$x = - \frac{π}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{π}{3}$ est un minimum local

Étape 23

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{π}{3}$ .

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Étape 23.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{π}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (- \frac{π}{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 23.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 23.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 23.2.1.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (\frac{5 π}{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.2

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 23.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $8 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{π}{3}) = 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.6

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.7

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 {\sqrt{3}}^{2} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 23.2.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 23.2.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3 - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3 - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.11

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.12

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 \cos (\frac{5 π}{3})$

Étape 23.2.1.13

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 \cos (\frac{π}{3})$

Étape 23.2.1.14

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 (\frac{1}{2})$

Étape 23.2.1.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 23.2.1.15.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 + 2 (- 4) (\frac{1}{2})$

Étape 23.2.1.15.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 + 2 \cdot (- 4 (\frac{1}{2}))$

Étape 23.2.1.15.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 4$

Étape 23.2.2

Soustrayez $4$ de $- 12$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 16$

Étape 23.2.3

La réponse finale est $- 16$ .

$y = - 16$

Étape 24

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{2 π}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 8 \sqrt{3} \sin (\frac{2 π}{3}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 25

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 25.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 25.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 8 \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 25.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 25.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 25.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8 \sqrt{3}$ .

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 25.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 25.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 4 \sqrt{3} \sqrt{3} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 25.1.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- 4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 25.1.5

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- 4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 25.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 25.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 4 {\sqrt{3}}^{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 25.1.8

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 25.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 25.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 25.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 25.1.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 25.1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 25.1.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 4 \cdot 3^{1} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 25.1.8.5

Évaluez l’exposant.

$- 4 \cdot 3 + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 25.1.9

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$- 12 + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 25.1.10

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- 12 + 8 (- \cos (\frac{π}{3}))$

Étape 25.1.11

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- 12 + 8 (- \frac{1}{2})$

Étape 25.1.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 25.1.12.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$- 12 + 8 (\frac{- 1}{2})$

Étape 25.1.12.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$- 12 + 2 (4) \frac{- 1}{2}$

Étape 25.1.12.3

Annulez le facteur commun.

$- 12 + 2 \cdot 4 \frac{- 1}{2}$

Étape 25.1.12.4

Réécrivez l’expression.

$- 12 + 4 \cdot - 1$

Étape 25.1.13

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 12 - 4$

Étape 25.2

Soustrayez $4$ de $- 12$ .

$- 16$

Étape 26

$x = \frac{2 π}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{2 π}{3}$ est un maximum local

Étape 27

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 27.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2 π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (\frac{2 π}{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 27.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 27.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 27.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{2 π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 27.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 8 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 27.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 27.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $8 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 27.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 27.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 27.2.1.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 27.2.1.5

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 27.2.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 27.2.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 {\sqrt{3}}^{2} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 27.2.1.8

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 27.2.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 27.2.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 27.2.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 27.2.1.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 27.2.1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 27.2.1.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3 - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 27.2.1.8.5

Évaluez l’exposant.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3 - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 27.2.1.9

Multipliez $4$ par $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Étape 27.2.1.10

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 (- \cos (\frac{π}{3}))$

Étape 27.2.1.11

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 (- \frac{1}{2})$

Étape 27.2.1.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 27.2.1.12.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 (\frac{- 1}{2})$

Étape 27.2.1.12.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 + 2 (- 4) (\frac{- 1}{2})$

Étape 27.2.1.12.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 + 2 \cdot (- 4 (\frac{- 1}{2}))$

Étape 27.2.1.12.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 4 \cdot - 1$

Étape 27.2.1.13

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 + 4$

Étape 27.2.2

Additionnez $12$ et $4$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 16$

Étape 27.2.3

La réponse finale est $16$ .

$y = 16$

Étape 28

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 8 \sqrt{3} \sin (x) - 8 \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{3}, - 16)$ est un minimum local

$(\frac{2 π}{3}, 16)$ est un maximum local

Étape 29