Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 e^{- 8 x}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 8 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- 8 x$ .

$- 8 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 8 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 8 x$ .

$- 8 (e^{- 8 x} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Étape 1.2.3

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 (e^{- 8 x} (- 8 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 8 (e^{- 8 x} (- 8 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$- 8 (e^{- 8 x} \cdot - 8) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Étape 1.2.6

Déplacez $- 8$ à gauche de $e^{- 8 x}$ .

$- 8 (- 8 \cdot e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Étape 1.2.7

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$64 e^{- 8 x} + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 e^{- 5 x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 5 x$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 5 x$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 5 x$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Étape 1.3.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Étape 1.3.6

Déplacez $- 5$ à gauche de $e^{- 5 x}$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Étape 1.3.7

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [64 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [- 25 e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (64 e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [64 e^{- 8 x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $64 e^{- 8 x}$ par rapport à $x$ est $64 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}]$ .

$f'' (x) = 64 \frac{d}{d x} (e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 8 x$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- 8 x$ .

$f'' (x) = 64 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 8 x)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 64 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 8 x)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 8 x$ .

$f'' (x) = 64 (e^{- 8 x} \frac{d}{d x} (- 8 x)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Étape 2.2.3

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 64 (e^{- 8 x} (- 8 \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 64 (e^{- 8 x} (- 8 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Étape 2.2.5

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$f'' (x) = 64 (e^{- 8 x} \cdot - 8) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Étape 2.2.6

Déplacez $- 8$ à gauche de $e^{- 8 x}$ .

$f'' (x) = 64 (- 8 \cdot e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Étape 2.2.7

Multipliez $- 8$ par $64$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 25 e^{- 5 x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 25 e^{- 5 x}$ par rapport à $x$ est $- 25 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 \frac{d}{d x} e^{- 5 x}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 5 x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 5 x$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 5 x$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Étape 2.3.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} x))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Étape 2.3.6

Déplacez $- 5$ à gauche de $e^{- 5 x}$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Étape 2.3.7

Multipliez $- 5$ par $- 25$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} + 125 e^{- 5 x}$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 125 e^{- 5 x} - 512 e^{- 8 x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 e^{- 8 x}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 8 x$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- 8 x$ .

$- 8 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Étape 4.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 8 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Étape 4.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 8 x$ .

$- 8 (e^{- 8 x} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Étape 4.1.2.3

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 (e^{- 8 x} (- 8 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Étape 4.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 8 (e^{- 8 x} (- 8 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$- 8 (e^{- 8 x} \cdot - 8) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Étape 4.1.2.6

Déplacez $- 8$ à gauche de $e^{- 8 x}$ .

$- 8 (- 8 \cdot e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$64 e^{- 8 x} + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 e^{- 5 x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 5 x$ .

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Étape 4.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 5 x$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Étape 4.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Étape 4.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 5 x$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Étape 4.1.3.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Étape 4.1.3.5

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Étape 4.1.3.6

Déplacez $- 5$ à gauche de $e^{- 5 x}$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Étape 4.1.3.7

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$f' (x) = 64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$ .

$64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x} = 0$

Étape 5.2

Déplacez $- 25 e^{- 5 x}$ du côté droit de l’équation en l’ajoutant des deux côtés.

$64 e^{- 8 x} = 25 e^{- 5 x}$

Étape 5.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (64 e^{- 8 x}) = \ln (25 e^{- 5 x})$

Étape 5.4

Développez le côté gauche.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $\ln (64 e^{- 8 x})$ comme $\ln (64) + \ln (e^{- 8 x})$ .

$\ln (64) + \ln (e^{- 8 x}) = \ln (25 e^{- 5 x})$

Étape 5.4.2

Développez $\ln (e^{- 8 x})$ en déplaçant $- 8 x$ hors du logarithme.

$\ln (64) - 8 x \ln (e) = \ln (25 e^{- 5 x})$

Étape 5.4.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (64) - 8 x \cdot 1 = \ln (25 e^{- 5 x})$

Étape 5.4.4

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$\ln (64) - 8 x = \ln (25 e^{- 5 x})$

Étape 5.5

Développez le côté droit.

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Étape 5.5.1

Réécrivez $\ln (25 e^{- 5 x})$ comme $\ln (25) + \ln (e^{- 5 x})$ .

$\ln (64) - 8 x = \ln (25) + \ln (e^{- 5 x})$

Étape 5.5.2

Développez $\ln (e^{- 5 x})$ en déplaçant $- 5 x$ hors du logarithme.

$\ln (64) - 8 x = \ln (25) - 5 x \ln (e)$

Étape 5.5.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (64) - 8 x = \ln (25) - 5 x \cdot 1$

Étape 5.5.4

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\ln (64) - 8 x = \ln (25) - 5 x$

Étape 5.6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (64) - \ln (25) = 8 x - 5 x$

Étape 5.7

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{64}{25}) = 8 x - 5 x$

Étape 5.8

Soustrayez $5 x$ de $8 x$ .

$\ln (\frac{64}{25}) = 3 x$

Étape 5.9

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$3 x = \ln (\frac{64}{25})$

Étape 5.10

Divisez chaque terme dans $3 x = \ln (\frac{64}{25})$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.10.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \ln (\frac{64}{25})$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$

Étape 5.10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.10.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.10.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$

Étape 5.10.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$125 e^{- 5 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1

Réécrivez $\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ comme $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ .

$125 e^{- 5 (\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25}))} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$125 e^{- 5 \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.3

Simplifiez $- 5 \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})$ en déplaçant $- 5$ dans le logarithme.

$125 e^{\ln ({({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 5})} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$125 {({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 5} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.5

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 5}$ .

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Étape 9.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$125 {(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3} \cdot - 5} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.5.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 5$ .

$125 {(\frac{64}{25})}^{\frac{- 5}{3}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$125 {(\frac{64}{25})}^{- \frac{5}{3}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.6

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$125 {(\frac{25}{64})}^{\frac{5}{3}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{25}{64}$ .

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{64^{\frac{5}{3}}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.8.1

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{{(4^{3})}^{\frac{5}{3}}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{4^{3 (\frac{5}{3})}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.8.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.8.3.1

Annulez le facteur commun.

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{4^{3 (\frac{5}{3})}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.8.3.2

Réécrivez l’expression.

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{4^{5}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.8.4

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.9

Multipliez $125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024}$ .

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Étape 9.9.1

Associez $125$ et $\frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024}$ .

$\frac{125 \cdot 25^{\frac{5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.9.2

Réécrivez $125$ comme $5^{3}$ .

$\frac{5^{3} \cdot 25^{\frac{5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.9.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{5^{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.9.4

Multipliez les exposants dans ${(5^{2})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Étape 9.9.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{3} \cdot 5^{2 (\frac{5}{3})}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.9.4.2

Multipliez $2 (\frac{5}{3})$ .

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Étape 9.9.4.2.1

Associez $2$ et $\frac{5}{3}$ .

$\frac{5^{3} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.9.4.2.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{5^{3} \cdot 5^{\frac{10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.9.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5^{3 + \frac{10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.9.6

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5^{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.9.7

Associez $3$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5^{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.9.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5^{\frac{3 \cdot 3 + 10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.9.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.9.9.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{5^{\frac{9 + 10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.9.9.2

Additionnez $9$ et $10$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Étape 9.10

Réécrivez $\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ comme $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 (\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25}))}$

Étape 9.11

Simplifiez $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}$

Étape 9.12

Simplifiez $- 8 \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})$ en déplaçant $- 8$ dans le logarithme.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 e^{\ln ({({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 8})}$

Étape 9.13

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 8}$

Étape 9.14

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 8}$ .

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Étape 9.14.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3} \cdot - 8}$

Étape 9.14.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 8$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {(\frac{64}{25})}^{\frac{- 8}{3}}$

Étape 9.14.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {(\frac{64}{25})}^{- \frac{8}{3}}$

Étape 9.15

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {(\frac{25}{64})}^{\frac{8}{3}}$

Étape 9.16

Appliquez la règle de produit à $\frac{25}{64}$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{64^{\frac{8}{3}}}$

Étape 9.17

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.17.1

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{{(4^{3})}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 9.17.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{4^{3 (\frac{8}{3})}}$

Étape 9.17.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.17.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{4^{3 (\frac{8}{3})}}$

Étape 9.17.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{4^{8}}$

Étape 9.17.4

Élevez $4$ à la puissance $8$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{65536}$

Étape 9.18

Annulez le facteur commun de $512$ .

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Étape 9.18.1

Factorisez $512$ à partir de $- 512$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} + 512 (- 1) \frac{25^{\frac{8}{3}}}{65536}$

Étape 9.18.2

Factorisez $512$ à partir de $65536$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} + 512 \cdot - 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{512 \cdot 128}$

Étape 9.18.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} + 512 \cdot - 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{512 \cdot 128}$

Étape 9.18.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{128}$

Étape 9.19

Réécrivez $- 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{128}$ comme $- \frac{25^{\frac{8}{3}}}{128}$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{128}$

Étape 10

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ .

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Étape 11.1

Simplify $\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ to substitute in $f (x) = - 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$ .

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Étape 11.1.1

Réécrivez $\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ comme $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{64}{25})$

Étape 11.1.2

Simplifiez $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$y = \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})$

Étape 11.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{64}{25}$ .

$y = \ln (\frac{64^{\frac{1}{3}}}{25^{\frac{1}{3}}})$

Étape 11.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1.4.1

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$y = \ln (\frac{{(4^{3})}^{\frac{1}{3}}}{25^{\frac{1}{3}}})$

Étape 11.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \ln (\frac{4^{3 (\frac{1}{3})}}{25^{\frac{1}{3}}})$

Étape 11.1.4.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = \ln (\frac{4^{3 (\frac{1}{3})}}{25^{\frac{1}{3}}})$

Étape 11.1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$y = \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$

Étape 11.1.4.4

Évaluez l’exposant.

$y = \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$

Étape 11.2

Remplacez la variable $x$ par $\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$ dans l’expression.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 e^{- 8 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Étape 11.3

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.1.1

Simplifiez $- 8 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$ en déplaçant $- 8$ dans le logarithme.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 e^{\ln ({(\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}^{- 8})} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Étape 11.3.1.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 {(\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}^{- 8} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Étape 11.3.1.3

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 {(\frac{25^{\frac{1}{3}}}{4})}^{8} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Étape 11.3.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{25^{\frac{1}{3}}}{4}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 \frac{{(25^{\frac{1}{3}})}^{8}}{4^{8}} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Étape 11.3.1.5

Multipliez les exposants dans ${(25^{\frac{1}{3}})}^{8}$ .

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Étape 11.3.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 \frac{25^{\frac{1}{3} \cdot 8}}{4^{8}} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Étape 11.3.1.5.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{4^{8}} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Étape 11.3.1.6

Élevez $4$ à la puissance $8$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{65536} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Étape 11.3.1.7

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 11.3.1.7.1

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = 8 (- 1) (\frac{25^{\frac{8}{3}}}{65536}) + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Étape 11.3.1.7.2

Factorisez $8$ à partir de $65536$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = 8 \cdot (- 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8 \cdot 8192}) + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Étape 11.3.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = 8 \cdot (- 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8 \cdot 8192}) + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Étape 11.3.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Étape 11.3.1.8

Réécrivez $- 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192}$ comme $- \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Étape 11.3.1.9

Simplifiez $- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$ en déplaçant $- 5$ dans le logarithme.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 e^{\ln ({(\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}^{- 5})}$

Étape 11.3.1.10

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 {(\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}^{- 5}$

Étape 11.3.1.11

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 {(\frac{25^{\frac{1}{3}}}{4})}^{5}$

Étape 11.3.1.12

Appliquez la règle de produit à $\frac{25^{\frac{1}{3}}}{4}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 (\frac{{(25^{\frac{1}{3}})}^{5}}{4^{5}})$

Étape 11.3.1.13

Multipliez les exposants dans ${(25^{\frac{1}{3}})}^{5}$ .

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Étape 11.3.1.13.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 (\frac{25^{\frac{1}{3} \cdot 5}}{4^{5}})$

Étape 11.3.1.13.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $5$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 (\frac{25^{\frac{5}{3}}}{4^{5}})$

Étape 11.3.1.14

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 (\frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024})$

Étape 11.3.1.15

Multipliez $5 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024}$ .

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Étape 11.3.1.15.1

Associez $5$ et $\frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot 25^{\frac{5}{3}}}{1024}$

Étape 11.3.1.15.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot {(5^{2})}^{\frac{5}{3}}}{1024}$

Étape 11.3.1.15.3

Multipliez les exposants dans ${(5^{2})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Étape 11.3.1.15.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot 5^{2 (\frac{5}{3})}}{1024}$

Étape 11.3.1.15.3.2

Multipliez $2 (\frac{5}{3})$ .

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Étape 11.3.1.15.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{5}{3}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 5}{3}}}{1024}$

Étape 11.3.1.15.3.2.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot 5^{\frac{10}{3}}}{1024}$

Étape 11.3.1.15.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{1 + \frac{10}{3}}}{1024}$

Étape 11.3.1.15.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{3}{3} + \frac{10}{3}}}{1024}$

Étape 11.3.1.15.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{3 + 10}{3}}}{1024}$

Étape 11.3.1.15.7

Additionnez $3$ et $10$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{13}{3}}}{1024}$

Étape 11.3.2

La réponse finale est $- \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{13}{3}}}{1024}$ .

$y = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{13}{3}}}{1024}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$ .

$(\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}, - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{13}{3}}}{1024})$ est un maximum local

Étape 13