Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 \cos^{4} (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 \cos^{4} (x)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$8 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$8 (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 1.3

Multipliez $4$ par $8$ .

$32 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 1.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$32 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Étape 1.5

Multipliez $- 1$ par $32$ .

$- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 32 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x) \sin (x))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos^{3} (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Étape 2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Étape 2.4

Multipliez $\cos^{3} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Multipliez $\cos^{3} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 2.4.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Étape 2.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 32 ({\cos (x)}^{3 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Étape 2.4.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Étape 2.6

Déplacez $3$ à gauche de $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + 3 \cdot (\sin (x) \cos^{2} (x)) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Étape 2.7

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + 3 \sin (x) \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Étape 2.8

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 \sin (x) \cos^{2} (x) \sin (x))$

Étape 2.9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 (\sin (x) \sin (x)) \cos^{2} (x))$

Étape 2.10

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 (\sin (x) \sin (x)) \cos^{2} (x))$

Étape 2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos^{2} (x))$

Étape 2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Étape 2.13

Simplifiez

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Étape 2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 32 \cos^{4} (x) - 32 (- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Étape 2.13.2

Multipliez $- 3$ par $- 32$ .

$f'' (x) = - 32 \cos^{4} (x) + 96 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Étape 2.13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 96 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 32 \cos^{4} (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 32 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Étape 5

Définissez $\cos^{3} (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\cos^{3} (x)$ égal à $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\cos^{3} (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

Étape 5.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\cos (x) = 0$

Étape 5.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 5.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 5.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 5.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 5.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.6.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 5.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 5.2.7

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Étape 6

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 6.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 6.2.5

La solution de l’équation est $x = 0$ .

$x = 0, π$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$96 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$96 \cdot 0^{2} \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Étape 9.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$96 \cdot 0 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Étape 9.1.3

Multipliez $96$ par $0$ .

$0 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Étape 9.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 \cdot 1^{2} - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Étape 9.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 \cdot 1 - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Étape 9.1.6

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Étape 9.1.7

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$0 - 32 \cdot 0^{4}$

Étape 9.1.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 32 \cdot 0$

Étape 9.1.9

Multipliez $- 32$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - 32 \cos^{3} (- 2) \sin (- 2)$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Évaluez $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 32 {(- 0.41614683)}^{3} \sin (- 2)$

Étape 10.2.2.2

Élevez $- 0.41614683$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = - 32 \cdot (- 0.07206755 \sin (- 2))$

Étape 10.2.2.3

Multipliez $- 32$ par $- 0.07206755$ .

$f' (- 2) = 2.30616178 \sin (- 2)$

Étape 10.2.2.4

Évaluez $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 2.30616178 \cdot - 0.90929742$

Étape 10.2.2.5

Multipliez $2.30616178$ par $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 2.09698697$

Étape 10.2.2.6

La réponse finale est $- 2.09698697$ .

$- 2.09698697$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(0, \frac{π}{2})$ dans la dérivée première $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - 32 \cos^{3} (1) \sin (1)$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Évaluez $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 32 \cdot ({0.5403023}^{3} \sin (1))$

Étape 10.3.2.2

Élevez $0.5403023$ à la puissance $3$ .

$f' (1) = - 32 \cdot (0.1577286 \sin (1))$

Étape 10.3.2.3

Multipliez $- 32$ par $0.1577286$ .

$f' (1) = - 5.04731536 \sin (1)$

Étape 10.3.2.4

Évaluez $\sin (1)$ .

$f' (1) = - 5.04731536 \cdot 0.84147098$

Étape 10.3.2.5

Multipliez $- 5.04731536$ par $0.84147098$ .

$f' (1) = - 4.24716943$

Étape 10.3.2.6

La réponse finale est $- 4.24716943$ .

$- 4.24716943$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(\frac{π}{2}, π)$ dans la dérivée première $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = - 32 \cos^{3} (2) \sin (2)$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.4.2.1

Évaluez $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 32 {(- 0.41614683)}^{3} \sin (2)$

Étape 10.4.2.2

Élevez $- 0.41614683$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = - 32 \cdot (- 0.07206755 \sin (2))$

Étape 10.4.2.3

Multipliez $- 32$ par $- 0.07206755$ .

$f' (2) = 2.30616178 \sin (2)$

Étape 10.4.2.4

Évaluez $\sin (2)$ .

$f' (2) = 2.30616178 \cdot 0.90929742$

Étape 10.4.2.5

Multipliez $2.30616178$ par $0.90929742$ .

$f' (2) = 2.09698697$

Étape 10.4.2.6

La réponse finale est $2.09698697$ .

$2.09698697$

Étape 10.5

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(π, \frac{3 π}{2})$ dans la dérivée première $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.5.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = - 32 \cos^{3} (4) \sin (4)$

Étape 10.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.5.2.1

Évaluez $\cos (4)$ .

$f' (4) = - 32 {(- 0.65364362)}^{3} \sin (4)$

Étape 10.5.2.2

Élevez $- 0.65364362$ à la puissance $3$ .

$f' (4) = - 32 \cdot (- 0.27926922 \sin (4))$

Étape 10.5.2.3

Multipliez $- 32$ par $- 0.27926922$ .

$f' (4) = 8.93661523 \sin (4)$

Étape 10.5.2.4

Évaluez $\sin (4)$ .

$f' (4) = 8.93661523 \cdot - 0.75680249$

Étape 10.5.2.5

Multipliez $8.93661523$ par $- 0.75680249$ .

$f' (4) = - 6.7632527$

Étape 10.5.2.6

La réponse finale est $- 6.7632527$ .

$- 6.7632527$

Étape 10.6

Remplacez tout nombre, tel que $7$ , de l’intervalle $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ dans la dérivée première $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.6.1

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f' (7) = - 32 \cos^{3} (7) \sin (7)$

Étape 10.6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.6.2.1

Évaluez $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 32 \cdot ({0.75390225}^{3} \sin (7))$

Étape 10.6.2.2

Élevez $0.75390225$ à la puissance $3$ .

$f' (7) = - 32 \cdot (0.42849437 \sin (7))$

Étape 10.6.2.3

Multipliez $- 32$ par $0.42849437$ .

$f' (7) = - 13.71182002 \sin (7)$

Étape 10.6.2.4

Évaluez $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 13.71182002 \cdot 0.65698659$

Étape 10.6.2.5

Multipliez $- 13.71182002$ par $0.65698659$ .

$f' (7) = - 9.00848199$

Étape 10.6.2.6

La réponse finale est $- 9.00848199$ .

$- 9.00848199$

Étape 10.7

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.8

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{π}{2}$ , $x = \frac{π}{2}$ est un minimum local.

$x = \frac{π}{2}$ est un minimum local

Étape 10.9

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = π$ , $x = π$ est un maximum local.

$x = π$ est un maximum local

Étape 10.10

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = \frac{3 π}{2}$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 8 \cos^{4} (x)$ .

$x = \frac{π}{2}$ est un minimum local

$x = π$ est un maximum local

$x = \frac{π}{2}$ est un minimum local

$x = π$ est un maximum local

Étape 11