Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 - \frac{6}{x} \cdot \frac{8}{x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - \frac{6}{x} \cdot \frac{8}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x} \cdot \frac{8}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x} \cdot \frac{8}{x^{2}}]$

Étape 1.1.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x} \cdot \frac{8}{x^{2}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x} \cdot \frac{8}{x^{2}}]$ .

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Étape 1.2.1

Multipliez $\frac{8}{x^{2}}$ par $\frac{6}{x}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{8 \cdot 6}{x^{2} x}]$

Étape 1.2.2

Multipliez $8$ par $6$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{48}{x^{2} x}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{48}{x^{2} x^{1}}]$

Étape 1.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{48}{x^{2 + 1}}]$

Étape 1.2.3.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{48}{x^{3}}]$

Étape 1.2.4

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{48}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $- 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$0 - 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.2.5

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$0 - 48 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 1.2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$0 - 48 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0 - 48 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.2.6.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.2.6.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$0 - 48 (- {(x^{2} x^{1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.2.6.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 - 48 (- {(x^{2 + 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.2.6.3.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$0 - 48 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 - 48 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Étape 1.2.8

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 1.2.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 48 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Étape 1.2.8.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$0 - 48 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Étape 1.2.9

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$0 - 48 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Étape 1.2.10

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.10.1

Déplacez $x^{2}$ .

$0 - 48 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Étape 1.2.10.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$0 - 48 (- 3 x^{2 - 6})$

Étape 1.2.10.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$0 - 48 (- 3 x^{- 4})$

Étape 1.2.11

Multipliez $- 3$ par $- 48$ .

$0 + 144 x^{- 4}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 144 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.2.1

Associez $144$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$0 + \frac{144}{x^{4}}$

Étape 1.3.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{144}{x^{4}}$ .

$\frac{144}{x^{4}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $144$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{144}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $144 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 144 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 144 \frac{d}{d x} ({(x^{4})}^{- 1})$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 144 \frac{d}{d x} (x^{4 \cdot - 1})$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 144 \frac{d}{d x} (x^{- 4})$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$f'' (x) = 144 (- 4 x^{- 5})$

Étape 2.4

Multipliez $- 4$ par $144$ .

$f'' (x) = - 576 x^{- 5}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 576 \frac{1}{x^{5}}$

Étape 2.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.5.2.1

Associez $- 576$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 576}{x^{5}}$

Étape 2.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{576}{x^{5}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{144}{x^{4}} = 0$

Étape 4

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 5

Aucun extremum local

Étape 6