Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 \csc (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \csc (x)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 (- \csc (x) \cot (x))$

Étape 1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 (\csc (x) \cot (x))$

Étape 1.3.2

Réorganisez les facteurs de $- 6 \csc (x) \cot (x)$ .

$- 6 \cot (x) \csc (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 \cot (x) \csc (x)$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = \csc (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cot (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Étape 2.3

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Étape 2.4

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Étape 2.5

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Étape 2.8

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Étape 2.9

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)))$

Étape 2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Étape 2.11

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Étape 2.12

Simplifiez

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Étape 2.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 6 (- \csc (x) \cot^{2} (x)) - 6 (- \csc^{3} (x))$

Étape 2.12.2

Associez des termes.

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Étape 2.12.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$f'' (x) = 6 (\csc (x) \cot^{2} (x)) - 6 (- \csc^{3} (x))$

Étape 2.12.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$f'' (x) = 6 \csc (x) \cot^{2} (x) + 6 \csc^{3} (x)$

Étape 2.12.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 6 \cot^{2} (x) \csc (x) + 6 \csc^{3} (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 6 \cot (x) \csc (x) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

Étape 5

Définissez $\cot (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\cot (x)$ égal à $0$ .

$\cot (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\cot (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $arccot (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 5.2.3

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez $π + \frac{π}{2}$ .

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Étape 5.2.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Étape 5.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 5.2.5

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Étape 6

Définissez $\csc (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\csc (x)$ égal à $0$ .

$\csc (x) = 0$

Étape 6.2

La plage de la cosécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 6 \cot (x) \csc (x) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (\frac{π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$6 \cdot 0^{2} \csc (\frac{π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Étape 9.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$6 \cdot 0 \csc (\frac{π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Étape 9.1.3

Multipliez $6$ par $0$ .

$0 \csc (\frac{π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Étape 9.1.4

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 \cdot 1 + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Étape 9.1.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 6 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Étape 9.1.6

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 + 6 \cdot 1^{3}$

Étape 9.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 + 6 \cdot 1$

Étape 9.1.8

Multipliez $6$ par $1$ .

$0 + 6$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $6$ .

$6$

Étape 10

$x = \frac{π}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{2}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = 6 \csc (\frac{π}{2})$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cdot 1$

Étape 11.2.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $6$ .

$y = 6$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 \cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cotangente est négative dans le quatrième quadrant.

$6 {(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Étape 13.1.2

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$6 {(- 0)}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$6 \cdot 0^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Étape 13.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$6 \cdot 0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Étape 13.1.5

Multipliez $6$ par $0$ .

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Étape 13.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cosécante est négative dans le quatrième quadrant.

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Étape 13.1.7

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Étape 13.1.8

Multipliez $0 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 13.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 \cdot - 1 + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Étape 13.1.8.2

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 + 6 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Étape 13.1.9

$0 + 6 {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

Étape 13.1.10

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 + 6 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Étape 13.1.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 + 6 {(- 1)}^{3}$

Étape 13.1.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$0 + 6 \cdot - 1$

Étape 13.1.13

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$0 - 6$

Étape 13.2

Soustrayez $6$ de $0$ .

$- 6$

Étape 14

$x = \frac{3 π}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 π}{2}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 \csc (\frac{3 π}{2})$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 (- \csc (\frac{π}{2}))$

Étape 15.2.2

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 (- 1 \cdot 1)$

Étape 15.2.3

Multipliez $6 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 15.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 6 \cdot - 1$

Étape 15.2.3.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 6$

Étape 15.2.4

La réponse finale est $- 6$ .

$y = - 6$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 6 \csc (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 6)$ est un minimum local

$(\frac{3 π}{2}, - 6)$ est un maximum local

Étape 17