Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 7 x - \frac{1}{9} x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x - \frac{1}{9} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x^{2}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- \frac{1}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{9} x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 - \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$7 - \frac{1}{9} (2 x)$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$7 - 2 (\frac{1}{9}) x$

Étape 1.3.4

Associez $- 2$ et $\frac{1}{9}$ .

$7 + \frac{- 2}{9} x$

Étape 1.3.5

Associez $\frac{- 2}{9}$ et $x$ .

$7 + \frac{- 2 x}{9}$

Étape 1.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$7 - \frac{2 x}{9}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{2 x}{9} + 7$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{2 x}{9} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{9}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{2 x}{9}) + \frac{d}{d x} (7)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{9}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- \frac{2}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 x}{9}$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{9} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (7)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (7)$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9} + \frac{d}{d x} (7)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9} + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- \frac{2}{9}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{2 x}{9} + 7 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x - \frac{1}{9} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x^{2}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x^{2}]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x^{2}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{9} x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- \frac{1}{9}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{9} x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 - \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$7 - \frac{1}{9} (2 x)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$7 - 2 (\frac{1}{9}) x$

Étape 4.1.3.4

Associez $- 2$ et $\frac{1}{9}$ .

$7 + \frac{- 2}{9} x$

Étape 4.1.3.5

Associez $\frac{- 2}{9}$ et $x$ .

$7 + \frac{- 2 x}{9}$

Étape 4.1.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$7 - \frac{2 x}{9}$

Étape 4.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{2 x}{9} + 7$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2 x}{9} + 7$ .

$- \frac{2 x}{9} + 7$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 x}{9} + 7 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{2 x}{9} + 7 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{2 x}{9} = - 7$

Étape 5.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2} (- \frac{2 x}{9}) = - \frac{9}{2} \cdot - 7$

Étape 5.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1.1

Simplifiez $- \frac{9}{2} (- \frac{2 x}{9})$ .

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Étape 5.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 5.4.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{9}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{- 9}{2} (- \frac{2 x}{9}) = - \frac{9}{2} \cdot - 7$

Étape 5.4.1.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 x}{9}$ dans le numérateur.

$\frac{- 9}{2} \cdot \frac{- 2 x}{9} = - \frac{9}{2} \cdot - 7$

Étape 5.4.1.1.1.3

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$\frac{9 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2 x}{9} = - \frac{9}{2} \cdot - 7$

Étape 5.4.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2 x}{9} = - \frac{9}{2} \cdot - 7$

Étape 5.4.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2} (- 2 x) = - \frac{9}{2} \cdot - 7$

Étape 5.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{- 1}{2} (2 (- x)) = - \frac{9}{2} \cdot - 7$

Étape 5.4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2} (2 (- x)) = - \frac{9}{2} \cdot - 7$

Étape 5.4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- - x = - \frac{9}{2} \cdot - 7$

Étape 5.4.1.1.3

Multipliez.

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Étape 5.4.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x = - \frac{9}{2} \cdot - 7$

Étape 5.4.1.1.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = - \frac{9}{2} \cdot - 7$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Multipliez $- \frac{9}{2} \cdot - 7$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$x = 7 (\frac{9}{2})$

Étape 5.4.2.1.2

Associez $7$ et $\frac{9}{2}$ .

$x = \frac{7 \cdot 9}{2}$

Étape 5.4.2.1.3

Multipliez $7$ par $9$ .

$x = \frac{63}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{63}{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{63}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2}{9}$

Étape 9

$x = \frac{63}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{63}{2}$ est un maximum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{63}{2}$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{63}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{63}{2}) = 7 (\frac{63}{2}) - \frac{1}{9} \cdot {(\frac{63}{2})}^{2}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Multipliez $7 (\frac{63}{2})$ .

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Étape 10.2.1.1.1

Associez $7$ et $\frac{63}{2}$ .

$f (\frac{63}{2}) = \frac{7 \cdot 63}{2} - \frac{1}{9} \cdot {(\frac{63}{2})}^{2}$

Étape 10.2.1.1.2

Multipliez $7$ par $63$ .

$f (\frac{63}{2}) = \frac{441}{2} - \frac{1}{9} \cdot {(\frac{63}{2})}^{2}$

Étape 10.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{63}{2}$ .

$f (\frac{63}{2}) = \frac{441}{2} - \frac{1}{9} \cdot \frac{63^{2}}{2^{2}}$

Étape 10.2.1.3

Élevez $63$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{63}{2}) = \frac{441}{2} - \frac{1}{9} \cdot \frac{3969}{2^{2}}$

Étape 10.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{63}{2}) = \frac{441}{2} - \frac{1}{9} \cdot \frac{3969}{4}$

Étape 10.2.1.5

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 10.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{9}$ dans le numérateur.

$f (\frac{63}{2}) = \frac{441}{2} + \frac{- 1}{9} \cdot \frac{3969}{4}$

Étape 10.2.1.5.2

Factorisez $9$ à partir de $3969$ .

$f (\frac{63}{2}) = \frac{441}{2} + \frac{- 1}{9} \cdot \frac{9 (441)}{4}$

Étape 10.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{63}{2}) = \frac{441}{2} + \frac{- 1}{9} \cdot \frac{9 \cdot 441}{4}$

Étape 10.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{63}{2}) = \frac{441}{2} - 1 \cdot \frac{441}{4}$

Étape 10.2.1.6

Réécrivez $- 1 (\frac{441}{4})$ comme $- (\frac{441}{4})$ .

$f (\frac{63}{2}) = \frac{441}{2} - \frac{441}{4}$

Étape 10.2.2

Pour écrire $\frac{441}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{63}{2}) = \frac{441}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{441}{4}$

Étape 10.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 10.2.3.1

Multipliez $\frac{441}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{63}{2}) = \frac{441 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{441}{4}$

Étape 10.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{63}{2}) = \frac{441 \cdot 2}{4} - \frac{441}{4}$

Étape 10.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{63}{2}) = \frac{441 \cdot 2 - 441}{4}$

Étape 10.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.5.1

Multipliez $441$ par $2$ .

$f (\frac{63}{2}) = \frac{882 - 441}{4}$

Étape 10.2.5.2

Soustrayez $441$ de $882$ .

$f (\frac{63}{2}) = \frac{441}{4}$

Étape 10.2.6

La réponse finale est $\frac{441}{4}$ .

$y = \frac{441}{4}$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 7 x - \frac{1}{9} x^{2}$ .

$(\frac{63}{2}, \frac{441}{4})$ est un maximum local

Étape 12