Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x^{2} \cdot \ln (\frac{x}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (\frac{x}{2})$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.5

Simplifiez les termes.

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{2}{x}$ par $1$ .

$5 (x^{2} (\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.5.2

Associez $\frac{2}{x}$ et $x^{2}$ .

$5 (\frac{2 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.5.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.5.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.5.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.5.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{2 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.5.3.2.5

Divisez $2 x$ par $1$ .

$5 (2 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (2 x (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.7

Simplifiez les termes.

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Étape 1.7.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.7.2

Associez $\frac{2}{2}$ et $x$ .

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.7.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.7.3.1

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.7.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.9

Multipliez $x$ par $1$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Étape 1.11

Simplifiez

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Étape 1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Étape 1.11.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{2}) x$

Étape 1.11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{2})]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x \ln (\frac{x}{2})$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = 10 (x \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.2.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.2.7

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (1 (\frac{2}{x}) \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.2.8

Multipliez $\frac{2}{x}$ par $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.2.9

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.2.10

Multipliez $\frac{2}{x}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x \cdot 2}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.2.11

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{2 \cdot x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.2.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.12.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{2 x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.2.12.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.2.13

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.2.14

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.14.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.2.14.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.2.15

Multipliez $\ln (\frac{x}{2})$ par $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + 10 \ln (\frac{x}{2}) + 5$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $10$ par $1$ .

$f'' (x) = 10 + 10 \ln (\frac{x}{2}) + 5$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $10$ et $5$ .

$f'' (x) = 10 \ln (\frac{x}{2}) + 15$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$

Étape 4.1.2

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 4.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.5

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.5.1

Multipliez $\frac{2}{x}$ par $1$ .

$5 (x^{2} (\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.5.2

Associez $\frac{2}{x}$ et $x^{2}$ .

$5 (\frac{2 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.5.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 4.1.5.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.5.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.5.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.5.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.5.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{2 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.5.3.2.5

Divisez $2 x$ par $1$ .

$5 (2 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (2 x (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.7

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.7.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.7.2

Associez $\frac{2}{2}$ et $x$ .

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.7.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.7.3.1

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.7.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.9

Multipliez $x$ par $1$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Étape 4.1.11

Simplifiez

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Étape 4.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Étape 4.1.11.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{2}) x$

Étape 4.1.11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$ .

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’équation.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$ par $10 x$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$ par $10 x$ .

$\frac{10 x \ln (\frac{x}{2})}{10 x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 x \ln (\frac{x}{2})}{10 x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \ln (\frac{x}{2})}{x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (\frac{x}{2})}{x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $\ln (\frac{x}{2})$ par $1$ .

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- 5 x}{10 x}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x$ .

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{10 x}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10 x$ .

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{5 (2 x)}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{5 (2 x)}$

Étape 5.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- x}{2 x}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- x}{2 x}$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}$

Étape 5.4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{x}{2})} = e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 5.5

Réécrivez $\ln (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = \frac{x}{2}$

Étape 5.6

Résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x}{2} = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{2} = e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 5.6.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 5.6.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 5.6.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 5.6.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.3.2.1

Simplifiez $2 e^{- \frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.3.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = 2 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.6.3.2.1.2

Associez $2$ et $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez l’argument dans $\ln (\frac{x}{2})$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\frac{x}{2} \leq 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

Étape 6.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

Étape 6.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x \leq 0 \cdot 2$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.2.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$x \leq 0$

Étape 6.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$10 \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2}) + 15$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$10 \ln (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}) + 15$

Étape 9.1.2

Associez.

$10 \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 15$

Étape 9.1.3

Réduisez l’expression $\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$10 \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 15$

Étape 9.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$10 \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 15$

Étape 9.1.4

Placez $e^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$10 \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 15$

Étape 9.1.5

Développez $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ en déplaçant $- \frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$10 (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 15$

Étape 9.1.6

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$10 (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 15$

Étape 9.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$10 (- \frac{1}{2}) + 15$

Étape 9.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$10 (\frac{- 1}{2}) + 15$

Étape 9.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$2 (5) \frac{- 1}{2} + 15$

Étape 9.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 5 \frac{- 1}{2} + 15$

Étape 9.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$5 \cdot - 1 + 15$

Étape 9.1.9

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 + 15$

Étape 9.2

Additionnez $- 5$ et $15$ .

$10$

Étape 10

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ dans l’expression.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 {(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{2^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Étape 11.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Étape 11.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 11.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Étape 11.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Étape 11.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Étape 11.2.3

Multipliez $5 \frac{4}{e}$ .

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Étape 11.2.3.1

Associez $5$ et $\frac{4}{e}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{5 \cdot 4}{e} \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Étape 11.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 11.2.5

Associez.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2})$

Étape 11.2.6

Réduisez l’expression $\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2})$

Étape 11.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 11.2.7

Placez $e^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

Étape 11.2.8

Développez $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ en déplaçant $- \frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \ln (e))$

Étape 11.2.9

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Étape 11.2.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2})$

Étape 11.2.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.11.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

Étape 11.2.11.2

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{2 (10)}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

Étape 11.2.11.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{2 \cdot 10}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

Étape 11.2.11.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{10}{e} \cdot - 1$

Étape 11.2.12

Associez $\frac{10}{e}$ et $- 1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{10 \cdot - 1}{e}$

Étape 11.2.13

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.13.1

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{- 10}{e}$

Étape 11.2.13.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{10}{e}$

Étape 11.2.14

La réponse finale est $- \frac{10}{e}$ .

$y = - \frac{10}{e}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 5 x^{2} \cdot \ln (\frac{x}{2})$ .

$(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{10}{e})$ est un minimum local

Étape 13