Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 40 x + 4000 x^{- 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $40 x + 4000 x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [40 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $40$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $40 x$ par rapport à $x$ est $40 \frac{d}{d x} [x]$ .

$40 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $40$ par $1$ .

$40 + \frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $4000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4000 x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $4000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$40 + 4000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$40 + 4000 (- x^{- 2})$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $4000$ .

$40 - 4000 x^{- 2}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4000 x^{- 2} + 40$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4000 x^{- 2} + 40$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4000 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [40]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4000 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (40)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4000 x^{- 2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 4000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4000 x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- 4000 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$f'' (x) = - 4000 \frac{d}{d x} x^{- 2} + \frac{d}{d x} (40)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 4000 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (40)$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 2$ par $- 4000$ .

$f'' (x) = 8000 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (40)$

Étape 2.3

Comme $40$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $40$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 8000 x^{- 3} + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Additionnez $8000 x^{- 3}$ et $0$ .

$f'' (x) = 8000 x^{- 3}$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 8000 (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 2.4.3

Associez $8000$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8000}{x^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 4000 x^{- 2} + 40 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $40 x + 4000 x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [40 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $40$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $40 x$ par rapport à $x$ est $40 \frac{d}{d x} [x]$ .

$40 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $40$ par $1$ .

$40 + \frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4000 x^{- 1}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $4000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4000 x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $4000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$40 + 4000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$40 + 4000 (- x^{- 2})$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $4000$ .

$40 - 4000 x^{- 2}$

Étape 4.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 4000 x^{- 2} + 40$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4000 x^{- 2} + 40$ .

$- 4000 x^{- 2} + 40$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4000 x^{- 2} + 40 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 4000 x^{- 2} + 40 = 0$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4000 \frac{1}{x^{2}} + 40 = 0$

Étape 5.2.2

Associez $- 4000$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 4000}{x^{2}} + 40 = 0$

Étape 5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4000}{x^{2}} + 40 = 0$

Étape 5.3

Soustrayez $40$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{4000}{x^{2}} = - 40$

Étape 5.4

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.4.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 1$

Étape 5.4.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 5.5

Multiplier chaque terme dans $- \frac{4000}{x^{2}} = - 40$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.5.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{4000}{x^{2}} = - 40$ par $x^{2}$ .

$- \frac{4000}{x^{2}} x^{2} = - 40 x^{2}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4000}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 4000}{x^{2}} x^{2} = - 40 x^{2}$

Étape 5.5.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4000}{x^{2}} x^{2} = - 40 x^{2}$

Étape 5.5.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 4000 = - 40 x^{2}$

Étape 5.6

Résolvez l’équation.

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Étape 5.6.1

Réécrivez l’équation comme $- 40 x^{2} = - 4000$ .

$- 40 x^{2} = - 4000$

Étape 5.6.2

Divisez chaque terme dans $- 40 x^{2} = - 4000$ par $- 40$ et simplifiez.

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Étape 5.6.2.1

Divisez chaque terme dans $- 40 x^{2} = - 4000$ par $- 40$ .

$\frac{- 40 x^{2}}{- 40} = \frac{- 4000}{- 40}$

Étape 5.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 40$ .

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Étape 5.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 40 x^{2}}{- 40} = \frac{- 4000}{- 40}$

Étape 5.6.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4000}{- 40}$

Étape 5.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.2.3.1

Divisez $- 4000$ par $- 40$ .

$x^{2} = 100$

Étape 5.6.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{100}$

Étape 5.6.4

Simplifiez $\pm \sqrt{100}$ .

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Étape 5.6.4.1

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{10^{2}}$

Étape 5.6.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 10$

Étape 5.6.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.6.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 10$

Étape 5.6.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 10$

Étape 5.6.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 10, - 10$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez la base dans $x^{- 2}$ égale à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 10, - 10$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 10$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{8000}{{(10)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$\frac{8000}{1000}$

Étape 9.2

Divisez $8000$ par $1000$ .

$8$

Étape 10

$x = 10$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 10$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 10$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $10$ dans l’expression.

$f (10) = 40 (10) + 4000 {(10)}^{- 1}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $40$ par $10$ .

$f (10) = 400 + 4000 {(10)}^{- 1}$

Étape 11.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (10) = 400 + 4000 (\frac{1}{10})$

Étape 11.2.1.3

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 11.2.1.3.1

Factorisez $10$ à partir de $4000$ .

$f (10) = 400 + 10 (400) (\frac{1}{10})$

Étape 11.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (10) = 400 + 10 \cdot (400 (\frac{1}{10}))$

Étape 11.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (10) = 400 + 400$

Étape 11.2.2

Additionnez $400$ et $400$ .

$f (10) = 800$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $800$ .

$y = 800$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 10$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{8000}{{(- 10)}^{3}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Élevez $- 10$ à la puissance $3$ .

$\frac{8000}{- 1000}$

Étape 13.2

Divisez $8000$ par $- 1000$ .

$- 8$

Étape 14

$x = - 10$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 10$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 10$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 10$ dans l’expression.

$f (- 10) = 40 (- 10) + 4000 {(- 10)}^{- 1}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Multipliez $40$ par $- 10$ .

$f (- 10) = - 400 + 4000 {(- 10)}^{- 1}$

Étape 15.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 10) = - 400 + 4000 (\frac{1}{- 10})$

Étape 15.2.1.3

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 15.2.1.3.1

Factorisez $10$ à partir de $4000$ .

$f (- 10) = - 400 + 10 (400) (\frac{1}{- 10})$

Étape 15.2.1.3.2

Factorisez $10$ à partir de $- 10$ .

$f (- 10) = - 400 + 10 \cdot (400 (\frac{1}{10 \cdot - 1}))$

Étape 15.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (- 10) = - 400 + 10 \cdot (400 (\frac{1}{10 \cdot - 1}))$

Étape 15.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (- 10) = - 400 + 400 (\frac{1}{- 1})$

Étape 15.2.1.4

Associez $400$ et $\frac{1}{- 1}$ .

$f (- 10) = - 400 + \frac{400}{- 1}$

Étape 15.2.1.5

Divisez $400$ par $- 1$ .

$f (- 10) = - 400 - 400$

Étape 15.2.2

Soustrayez $400$ de $- 400$ .

$f (- 10) = - 800$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $- 800$ .

$y = - 800$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 40 x + 4000 x^{- 1}$ .

$(10, 800)$ est un minimum local

$(- 10, - 800)$ est un maximum local

Étape 17