Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Étape 1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 17$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 17 \arctan (x)$ par rapport à $x$ est $- 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Étape 1.3.3

Associez $- 17$ et $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{- 17}{1 + x^{2}}$

Étape 1.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{x} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Associez des termes.

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Étape 1.4.1.1

Pour écrire $\frac{4}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Étape 1.4.1.2

Pour écrire $- \frac{17}{1 + x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 1.4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (1 + x^{2})$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.1.3.1

Multipliez $\frac{4}{x}$ par $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 1.4.1.3.2

Multipliez $\frac{17}{1 + x^{2}}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{(1 + x^{2}) x}$

Étape 1.4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 + x^{2}) x$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{x (1 + x^{2})}$

Étape 1.4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 (1 + x^{2}) - 17 x}{x (1 + x^{2})}$

Étape 1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = - 17 x + 4 (1 + x^{2})$ et $g (x) = x (1 + x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 17 x + 4 (1 + x^{2})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 17 x] + \frac{d}{d x} [4 (1 + x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} (- 17 x) + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.2.2

Comme $- 17$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 17 x$ par rapport à $x$ est $- 17 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.2.4

Multipliez $- 17$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.2.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 (1 + x^{2})$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 \frac{d}{d x} (1 + x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.2.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.2.8

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 \frac{d}{d x} (x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (2 x)) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.2.10

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x \frac{d}{d x} (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x \frac{d}{d x} (x^{2}) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (2 x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 (x \cdot x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 (x \cdot x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{1 + 1} + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + (1 + x^{2}) \cdot 1)}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.10

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.10.1

Multipliez $1 + x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + 1 + x^{2})}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.10.2

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.11

Simplifiez

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Étape 2.11.1

Appliquez la règle de produit à $x (1 + x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 \cdot 1 + 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.11.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.5.1.1.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.11.5.1.1.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.11.5.1.1.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{(x + x^{1 + 2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x + x^{3}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.2

Développez $(x + x^{3}) (- 17 + 8 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.11.5.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (- 17 + 8 x) + x^{3} (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 17 + x (8 x) + x^{3} (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 17 + x (8 x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.5.1.3.1

Déplacez $- 17$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 \cdot x + x (8 x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x \cdot x + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.3.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.11.5.1.3.3.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 (x \cdot x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.3.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.3.4

Déplacez $- 17$ à gauche de $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 \cdot x^{3} + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.3.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{3} x + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.3.6

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.11.5.1.3.6.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 (x \cdot x^{3}) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.3.6.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 2.11.5.1.3.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 (x \cdot x^{3}) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.3.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{1 + 3} + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.3.6.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.5.1.4.1

Multipliez $- 17$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.4.2

Multipliez $- (4 \cdot 1)$ .

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Étape 2.11.5.1.4.2.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 1 \cdot 4 - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.4.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 4 - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.4.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 4 - 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.5

Développez $(17 x - 4 - 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 x (3 x^{2}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.5.1.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x \cdot x^{2}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.11.5.1.6.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 (x^{2} x)) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.6.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.11.5.1.6.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 (x^{2} x)) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x^{2 + 1}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.6.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x^{3}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.6.3

Multipliez $17$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.6.4

Multipliez $17$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.6.5

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.6.6

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.6.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.6.8

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.11.5.1.6.8.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.6.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{2 + 2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.6.8.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{4}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.6.9

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 12 x^{4} - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.6.10

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 12 x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.1.7

Soustrayez $4 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.2

Associez les termes opposés dans $- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}$ .

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Étape 2.11.5.2.1

Additionnez $- 17 x$ et $17 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 0 - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.2.2

Additionnez $8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.3

Soustrayez $16 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} - 8 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.4

Additionnez $- 17 x^{3}$ et $51 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.5.5

Soustrayez $12 x^{4}$ de $8 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.6

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4$ .

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Étape 2.11.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.6.2

Factorisez $2$ à partir de $34 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.6.3

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.6.4

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.6.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.6.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.6.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4}) + 17 x^{3} - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.8

Factorisez $- 1$ à partir de $17 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4}) - (- 17 x^{3}) - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{4}) - (- 17 x^{3})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - (4 x^{2}) - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - (4 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.12

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 1 \cdot 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 1 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2))}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.14

Réécrivez $- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)$ comme $- 1 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2))}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.11.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Étape 4.1.2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Étape 4.1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 17$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 17 \arctan (x)$ par rapport à $x$ est $- 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Étape 4.1.3.2

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Étape 4.1.3.3

Associez $- 17$ et $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{- 17}{1 + x^{2}}$

Étape 4.1.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{x} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.1.1

Pour écrire $\frac{4}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Étape 4.1.4.1.2

Pour écrire $- \frac{17}{1 + x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 4.1.4.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (1 + x^{2})$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.4.1.3.1

Multipliez $\frac{4}{x}$ par $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 4.1.4.1.3.2

Multipliez $\frac{17}{1 + x^{2}}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{(1 + x^{2}) x}$

Étape 4.1.4.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(1 + x^{2}) x$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{x (1 + x^{2})}$

Étape 4.1.4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 (1 + x^{2}) - 17 x}{x (1 + x^{2})}$

Étape 4.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$ .

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 17 x + 4 (1 + x^{2}) = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 17 x + 4 \cdot 1 + 4 x^{2} = 0$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$- 17 x + 4 + 4 x^{2} = 0$

Étape 5.3.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.3.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 x^{2} - 17 x + 4 = 0$

Étape 5.3.2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 4 = 16$ et dont la somme est $b = - 17$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $- 17$ à partir de $- 17 x$ .

$4 x^{2} - 17 x + 4 = 0$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez $- 17$ comme $- 1$ plus $- 16$

$4 x^{2} + (- 1 - 16) x + 4 = 0$

Étape 5.3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 1 x - 16 x + 4 = 0$

Étape 5.3.2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.3.2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 x^{2} - 1 x) - 16 x + 4 = 0$

Étape 5.3.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (4 x - 1) - 4 (4 x - 1) = 0$

Étape 5.3.2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x - 1$ .

$(4 x - 1) (x - 4) = 0$

Étape 5.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 5.3.4

Définissez $4 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.4.1

Définissez $4 x - 1$ égal à $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Étape 5.3.4.2

Résolvez $4 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 1$

Étape 5.3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 5.3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 5.3.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Étape 5.3.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 5.3.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 5.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 x - 1) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{4}, 4$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x (1 + x^{2}) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$1 + x^{2} = 0$

Étape 6.2.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.2.3

Définissez $1 + x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.2.3.1

Définissez $1 + x^{2}$ égal à $0$ .

$1 + x^{2} = 0$

Étape 6.2.3.2

Résolvez $1 + x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 6.2.3.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 6.2.3.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 6.2.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.2.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 6.2.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 6.2.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 6.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (1 + x^{2}) = 0$ vraie.

$x = 0, i, - i$

Étape 6.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{1}{4}, 4$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2 (2 {(\frac{1}{4})}^{4} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (2 \frac{1^{4}}{4^{4}} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{2 (2 \frac{1}{4^{4}} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.3

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$- \frac{2 (2 (\frac{1}{256}) - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $256$ .

$- \frac{2 (2 \frac{1}{2 (128)} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (2 \frac{1}{2 \cdot 128} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 \frac{1^{3}}{4^{3}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 \frac{1}{4^{3}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.7

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 (\frac{1}{64}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.8

Associez $- 17$ et $\frac{1}{64}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} + \frac{- 17}{64} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1^{2}}{4^{2}} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4^{2}} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.12

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 (\frac{1}{16}) + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.13

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.1.13.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4 (4)} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.13.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.13.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.14

Pour écrire $- \frac{17}{64}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.15

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $128$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.1.15.1

Multipliez $\frac{17}{64}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17 \cdot 2}{64 \cdot 2} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.15.2

Multipliez $64$ par $2$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17 \cdot 2}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2 (\frac{1 - 17 \cdot 2}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.17.1

Multipliez $- 17$ par $2$ .

$- \frac{2 (\frac{1 - 34}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.17.2

Soustrayez $34$ de $1$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.18

Pour écrire $\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{32}{32}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{1}{4} \cdot \frac{32}{32} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.19

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $128$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.1.19.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{32}{32}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{32}{4 \cdot 32} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.19.2

Multipliez $4$ par $32$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{32}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2 (\frac{- 33 + 32}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.21

Additionnez $- 33$ et $32$ .

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.22

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{128}{128}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + 2 \cdot \frac{128}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.23

Associez $2$ et $\frac{128}{128}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + \frac{2 \cdot 128}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2 \frac{- 1 + 2 \cdot 128}{128}}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.25

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.25.1

Multipliez $2$ par $128$ .

$- \frac{2 \frac{- 1 + 256}{128}}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.1.25.2

Additionnez $- 1$ et $256$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1^{2}}{4^{2}})}^{2}}$

Étape 9.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1}{4^{2}})}^{2}}$

Étape 9.2.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1}{16})}^{2}}$

Étape 9.2.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{16}{16} + \frac{1}{16})}^{2}}$

Étape 9.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{16 + 1}{16})}^{2}}$

Étape 9.2.7

Additionnez $16$ et $1$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{17}{16})}^{2}}$

Étape 9.2.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{17}{16}$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

Étape 9.2.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{4^{2}} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

Étape 9.2.10

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

Étape 9.2.11

Élevez $17$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{16^{2}}}$

Étape 9.2.12

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{256}}$

Étape 9.3

Simplifiez les termes.

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Étape 9.3.1

Associez $2$ et $\frac{255}{128}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{128}}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{256}}$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $\frac{289}{256}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{128}}{\frac{289}{16 \cdot 256}}$

Étape 9.3.3

Multipliez.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez $2$ par $255$ .

$- \frac{\frac{510}{128}}{\frac{289}{16 \cdot 256}}$

Étape 9.3.3.2

Multipliez $16$ par $256$ .

$- \frac{\frac{510}{128}}{\frac{289}{4096}}$

Étape 9.3.4

Annulez le facteur commun à $510$ et $128$ .

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Étape 9.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $510$ .

$- \frac{\frac{2 (255)}{128}}{\frac{289}{4096}}$

Étape 9.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $128$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{2 \cdot 64}}{\frac{289}{4096}}$

Étape 9.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{2 \cdot 64}}{\frac{289}{4096}}$

Étape 9.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\frac{255}{64}}{\frac{289}{4096}}$

Étape 9.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (\frac{255}{64} \cdot \frac{4096}{289})$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun de $17$ .

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Étape 9.5.1

Factorisez $17$ à partir de $255$ .

$- (\frac{17 (15)}{64} \cdot \frac{4096}{289})$

Étape 9.5.2

Factorisez $17$ à partir de $289$ .

$- (\frac{17 \cdot 15}{64} \cdot \frac{4096}{17 \cdot 17})$

Étape 9.5.3

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{17 \cdot 15}{64} \cdot \frac{4096}{17 \cdot 17})$

Étape 9.5.4

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{4096}{17})$

Étape 9.6

Annulez le facteur commun de $64$ .

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Étape 9.6.1

Factorisez $64$ à partir de $4096$ .

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{64 (64)}{17})$

Étape 9.6.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{64 \cdot 64}{17})$

Étape 9.6.3

Réécrivez l’expression.

$- (15 (\frac{64}{17}))$

Étape 9.7

Associez $15$ et $\frac{64}{17}$ .

$- \frac{15 \cdot 64}{17}$

Étape 9.8

Multipliez $15$ par $64$ .

$- \frac{960}{17}$

Étape 10

$x = \frac{1}{4}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1}{4}$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1}{4}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{4}) = 4 \ln (\frac{1}{4}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Simplifiez $4 \ln (\frac{1}{4})$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$f (\frac{1}{4}) = \ln ({(\frac{1}{4})}^{4}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1^{4}}{4^{4}}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Étape 11.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{4^{4}}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Étape 11.2.1.4

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Étape 11.2.1.5

Évaluez $\arctan (\frac{1}{4})$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 17 \cdot 0.24497866$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $- 17$ par $0.24497866$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 4.16463727$

Étape 11.2.2

Soustrayez $4.16463727$ de $\ln (\frac{1}{256})$ .

$f (\frac{1}{4}) = - 9.70981471$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 9.70981471$ .

$y = - 9.70981471$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4 {(4)}^{2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $4$ par ${(4)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.1

Multipliez $4$ par ${(4)}^{2}$ .

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Étape 13.1.1.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{1} {(4)}^{2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Étape 13.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{1 + 2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Étape 13.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{3} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Étape 13.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$- \frac{2 (2 \cdot 256 - 17 \cdot 4^{3} + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Étape 13.2.2

Multipliez $2$ par $256$ .

$- \frac{2 (512 - 17 \cdot 4^{3} + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Étape 13.2.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- \frac{2 (512 - 17 \cdot 64 + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Étape 13.2.4

Multipliez $- 17$ par $64$ .

$- \frac{2 (512 - 1088 + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Étape 13.2.5

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- \frac{2 (512 - 1088 + 64 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Étape 13.2.6

Soustrayez $1088$ de $512$ .

$- \frac{2 (- 576 + 64 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Étape 13.2.7

Additionnez $- 576$ et $64$ .

$- \frac{2 (- 512 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Étape 13.2.8

Additionnez $- 512$ et $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Étape 13.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} {(1 + 16)}^{2}}$

Étape 13.3.2

Additionnez $1$ et $16$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} \cdot 17^{2}}$

Étape 13.3.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{16 \cdot 17^{2}}$

Étape 13.3.4

Élevez $17$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{16 \cdot 289}$

Étape 13.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 13.4.1

Multipliez $2$ par $- 510$ .

$- \frac{- 1020}{16 \cdot 289}$

Étape 13.4.2

Multipliez $16$ par $289$ .

$- \frac{- 1020}{4624}$

Étape 13.4.3

Annulez le facteur commun à $- 1020$ et $4624$ .

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Étape 13.4.3.1

Factorisez $68$ à partir de $- 1020$ .

$- \frac{68 (- 15)}{4624}$

Étape 13.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.3.2.1

Factorisez $68$ à partir de $4624$ .

$- \frac{68 \cdot - 15}{68 \cdot 68}$

Étape 13.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{68 \cdot - 15}{68 \cdot 68}$

Étape 13.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{- 15}{68}$

Étape 13.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{15}{68}$

Étape 13.5

Multipliez $- - \frac{15}{68}$ .

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Étape 13.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{15}{68})$

Étape 13.5.2

Multipliez $\frac{15}{68}$ par $1$ .

$\frac{15}{68}$

Étape 14

$x = 4$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 4$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 4$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = 4 \ln (4) - 17 \arctan (4)$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Simplifiez $4 \ln (4)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$f (4) = \ln (4^{4}) - 17 \arctan (4)$

Étape 15.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f (4) = \ln (256) - 17 \arctan (4)$

Étape 15.2.1.3

Évaluez $\arctan (4)$ .

$f (4) = \ln (256) - 17 \cdot 1.32581766$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $- 17$ par $1.32581766$ .

$f (4) = \ln (256) - 22.53890028$

Étape 15.2.2

Soustrayez $22.53890028$ de $\ln (256)$ .

$f (4) = - 16.99372283$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $- 16.99372283$ .

$y = - 16.99372283$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ .

$(\frac{1}{4}, - 9.70981471)$ est un maximum local

$(4, - 16.99372283)$ est un minimum local

Étape 17