Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$4 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$- 4 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x))$

Étape 1.3.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 4 \sin (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \cos (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Étape 2.2.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Étape 2.2.5

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Étape 2.2.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Étape 2.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 4 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Étape 2.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Étape 2.2.9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Étape 2.2.10

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Étape 2.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Étape 2.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 4 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 4 \cos (x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 4 \cos^{2} (x) + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \cos (x)$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f'' (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4

Factorisez $4 \sin (x)$ à partir de $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ .

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Étape 4.1

Factorisez $4 \sin (x)$ à partir de $4 \cos (x) \sin (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin (x) = 0$

Étape 4.2

Factorisez $4 \sin (x)$ à partir de $- 4 \sin (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 4.3

Factorisez $4 \sin (x)$ à partir de $4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cdot - 1$ .

$4 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Étape 6

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 6.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 6.2.5

La solution de l’équation est $x = 0$ .

$x = 0, π$

Étape 7

Définissez $\cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $\cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $\cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = 1$

Étape 7.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7.2.4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 7.2.5

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 7.2.6

La solution de l’équation est $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, π, 2 π$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 \cos^{2} (0) - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$4 \cdot 1^{2} - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Étape 10.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \cdot 1 - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Étape 10.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Étape 10.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$4 - 4 \cdot 0^{2} - 4 \cos (0)$

Étape 10.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 - 4 \cdot 0 - 4 \cos (0)$

Étape 10.1.6

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$4 + 0 - 4 \cos (0)$

Étape 10.1.7

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$4 + 0 - 4 \cdot 1$

Étape 10.1.8

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$4 + 0 - 4$

Étape 10.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.2.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$4 - 4$

Étape 10.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$0$

Étape 11

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 11.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Étape 11.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 4 \cos (- 2) \sin (- 2) - 4 \sin (- 2)$

Étape 11.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1.1

Évaluez $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2)) - 4 \sin (- 2)$

Étape 11.2.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = - 1.66458734 \sin (- 2) - 4 \sin (- 2)$

Étape 11.2.2.1.3

Évaluez $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 1.66458734 \cdot - 0.90929742 - 4 \sin (- 2)$

Étape 11.2.2.1.4

Multipliez $- 1.66458734$ par $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 1.51360499 - 4 \sin (- 2)$

Étape 11.2.2.1.5

Évaluez $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 1.51360499 - 4 \cdot - 0.90929742$

Étape 11.2.2.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 1.51360499 + 3.6371897$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $1.51360499$ et $3.6371897$ .

$f' (- 2) = 5.15079469$

Étape 11.2.2.3

La réponse finale est $5.15079469$ .

$5.15079469$

Étape 11.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, π)$ dans la dérivée première $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 4 \cos (2) \sin (2) - 4 \sin (2)$

Étape 11.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.2.1.1

Évaluez $\cos (2)$ .

$f' (2) = 4 \cdot (- 0.41614683 \sin (2)) - 4 \sin (2)$

Étape 11.3.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 0.41614683$ .

$f' (2) = - 1.66458734 \sin (2) - 4 \sin (2)$

Étape 11.3.2.1.3

Évaluez $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 1.66458734 \cdot 0.90929742 - 4 \sin (2)$

Étape 11.3.2.1.4

Multipliez $- 1.66458734$ par $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.51360499 - 4 \sin (2)$

Étape 11.3.2.1.5

Évaluez $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 1.51360499 - 4 \cdot 0.90929742$

Étape 11.3.2.1.6

Multipliez $- 4$ par $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.51360499 - 3.6371897$

Étape 11.3.2.2

Soustrayez $3.6371897$ de $- 1.51360499$ .

$f' (2) = - 5.15079469$

Étape 11.3.2.3

La réponse finale est $- 5.15079469$ .

$- 5.15079469$

Étape 11.4

Remplacez tout nombre, tel que $5$ , de l’intervalle $(π, 2 π)$ dans la dérivée première $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.4.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = 4 \cos (5) \sin (5) - 4 \sin (5)$

Étape 11.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.4.2.1.1

Évaluez $\cos (5)$ .

$f' (5) = 4 \cdot (0.28366218 \sin (5)) - 4 \sin (5)$

Étape 11.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $0.28366218$ .

$f' (5) = 1.13464874 \sin (5) - 4 \sin (5)$

Étape 11.4.2.1.3

Évaluez $\sin (5)$ .

$f' (5) = 1.13464874 \cdot - 0.95892427 - 4 \sin (5)$

Étape 11.4.2.1.4

Multipliez $1.13464874$ par $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 1.08804222 - 4 \sin (5)$

Étape 11.4.2.1.5

Évaluez $\sin (5)$ .

$f' (5) = - 1.08804222 - 4 \cdot - 0.95892427$

Étape 11.4.2.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 1.08804222 + 3.83569709$

Étape 11.4.2.2

Additionnez $- 1.08804222$ et $3.83569709$ .

$f' (5) = 2.74765487$

Étape 11.4.2.3

La réponse finale est $2.74765487$ .

$2.74765487$

Étape 11.5

Remplacez tout nombre, tel que $9$ , de l’intervalle $(2 π, \infty)$ dans la dérivée première $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.5.1

Remplacez la variable $x$ par $9$ dans l’expression.

$f' (9) = 4 \cos (9) \sin (9) - 4 \sin (9)$

Étape 11.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.5.2.1.1

Évaluez $\cos (9)$ .

$f' (9) = 4 \cdot (- 0.91113026 \sin (9)) - 4 \sin (9)$

Étape 11.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 0.91113026$ .

$f' (9) = - 3.64452104 \sin (9) - 4 \sin (9)$

Étape 11.5.2.1.3

Évaluez $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 3.64452104 \cdot 0.41211848 - 4 \sin (9)$

Étape 11.5.2.1.4

Multipliez $- 3.64452104$ par $0.41211848$ .

$f' (9) = - 1.50197449 - 4 \sin (9)$

Étape 11.5.2.1.5

Évaluez $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 1.50197449 - 4 \cdot 0.41211848$

Étape 11.5.2.1.6

Multipliez $- 4$ par $0.41211848$ .

$f' (9) = - 1.50197449 - 1.64847394$

Étape 11.5.2.2

Soustrayez $1.64847394$ de $- 1.50197449$ .

$f' (9) = - 3.15044843$

Étape 11.5.2.3

La réponse finale est $- 3.15044843$ .

$- 3.15044843$

Étape 11.6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11.7

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = π$ , $x = π$ est un minimum local.

$x = π$ est un minimum local

Étape 11.8

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 2 π$ , $x = 2 π$ est un maximum local.

$x = 2 π$ est un maximum local

Étape 11.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$ .

$x = 0$ est un maximum local

$x = π$ est un minimum local

$x = 2 π$ est un maximum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = π$ est un minimum local

$x = 2 π$ est un maximum local

Étape 12