Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 48 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $48 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$48 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.2.8

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$48 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.2.9

Associez $48$ et $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{48 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.2.10

Multipliez $2$ par $48$ .

$\frac{96 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.2.11

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{96}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.2.12

Factorisez $3$ à partir de $96$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.2.13

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.13.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 (2 x)$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 18 x$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18 x$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 18$ par $1$ .

$f'' (x) = - 18 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 2.3.5.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 2$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 2.3.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Étape 2.3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Étape 2.3.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 2.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Étape 2.3.9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Étape 2.3.9.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Étape 2.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Étape 2.3.11

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 2.3.12

Associez $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 2.3.13

Multipliez $x^{- \frac{2}{3}}$ par $x^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 2.3.13.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Étape 2.3.13.3

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Étape 2.3.13.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Étape 2.3.14

Placez $x^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 18 + 32 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Étape 2.3.15

Multipliez $- 1$ par $32$ .

$f'' (x) = - 18 - 32 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.3.16

Associez $- 32$ et $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - 18 + \frac{- 32}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.3.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - 18 - \frac{32}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $48 x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [48 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 4.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 4.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 4.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 4.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 4.1.2.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$48 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 4.1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$48 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 4.1.2.8

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$48 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 4.1.2.9

Associez $48$ et $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{48 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $2$ par $48$ .

$\frac{96 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 4.1.2.11

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{96}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 4.1.2.12

Factorisez $3$ à partir de $96$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 4.1.2.13

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.13.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 4.1.2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 32}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 4.1.2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 9 (2 x)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$\frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} - 18 x$

Étape 4.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{\frac{1}{3}}, 1$

Étape 5.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ par $x^{\frac{1}{3}}$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 18 x \cdot x^{\frac{1}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 18 (x^{\frac{1}{3}} x) + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.2.1.1.2

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 18 (x^{\frac{1}{3}} x^{1}) + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 18 x^{\frac{1}{3} + 1} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.2.1.1.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- 18 x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.2.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 18 x^{\frac{1 + 3}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $3$ .

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + 32 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- 18 x^{\frac{4}{3}} + 32 = 0$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Soustrayez $32$ des deux côtés de l’équation.

$- 18 x^{\frac{4}{3}} = - 32$

Étape 5.4.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{4}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(- 18 x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1

Simplifiez ${(- 18 x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 18 x^{\frac{4}{3}}$ .

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} {(x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Étape 5.4.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{4}{3}})}^{\frac{3}{4}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Étape 5.4.3.1.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Étape 5.4.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Étape 5.4.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Étape 5.4.3.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x^{1} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Étape 5.4.3.1.3

Simplifiez

${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Étape 5.4.3.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans ${(- 18)}^{\frac{3}{4}} x$ .

$x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = \pm {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Étape 5.4.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Étape 5.4.4.2

Divisez chaque terme dans $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ par ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.1

Divisez chaque terme dans $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ par ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 5.4.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 5.4.4.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 5.4.4.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = - {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$

Étape 5.4.4.4

Divisez chaque terme dans $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = - {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ par ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.4.1

Divisez chaque terme dans $x {(- 18)}^{\frac{3}{4}} = - {(- 32)}^{\frac{3}{4}}$ par ${(- 18)}^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{- {(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 5.4.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x {(- 18)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}} = \frac{- {(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 5.4.4.4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- {(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 5.4.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 5.4.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}, - \frac{{(- 32)}^{\frac{3}{4}}}{{(- 18)}^{\frac{3}{4}}}$

Étape 5.5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ vrai.

$Aucune solution$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- 18 x + \frac{32}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Étape 6.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- 18 x + \frac{32}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{32}{\sqrt[3]{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x = 0^{3}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 18 - \frac{32}{3 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$- 18 - \frac{32}{3 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0^{4}}$

Étape 9.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 18 - \frac{32}{3 \cdot 0}$

Étape 9.3.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$- 18 - \frac{32}{0}$

Étape 9.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- 18 - \frac{32}{0}$

Étape 9.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - 18 \cdot - 2 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1

Multipliez $- 18$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = 36 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.2.2.2

La réponse finale est $36 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$36 + \frac{32}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $- 18 x + \frac{32}{x^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = - 18 \cdot 2 + \frac{32}{{(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.1

Multipliez $- 18$ par $2$ .

$f' (2) = - 36 + \frac{32}{2^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.3.2.2

La réponse finale est $- 36 + \frac{32}{2^{\frac{1}{3}}}$ .

$- 36 + \frac{32}{2^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.4

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11