Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 \sqrt{x^{3}} - 9$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \sqrt{x^{3}} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}]$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.2.7.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.2.8

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.2.9

Associez $4$ et $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.2.10

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.2.11

Factorisez $2$ à partir de $12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.2.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.2.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.2.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.2.12.4

Divisez $6 x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $6 x^{\frac{1}{2}}$ et $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 2.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.9

Associez $6$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.11

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 2.12.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.12.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$6 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \sqrt{x^{3}} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 4.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 4.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 4.1.2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 4.1.2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 4.1.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 4.1.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 4.1.2.7.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 4.1.2.8

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 4.1.2.9

Associez $4$ et $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 4.1.2.11

Factorisez $2$ à partir de $12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 4.1.2.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 4.1.2.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 4.1.2.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 4.1.2.12.4

Divisez $6 x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + 0$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $6 x^{\frac{1}{2}}$ et $0$ .

$f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ par $6$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{6}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Divisez $0$ par $6$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 5.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 5.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 5.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 5.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{2}$

Étape 5.4.1.1.2

Simplifiez

$x = 0^{2}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$6 \sqrt{x^{1}}$

Étape 6.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$6 \sqrt{x}$

Étape 6.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 6.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{3}{{(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{3}{{(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{0^{1}}$

Étape 9.3

Évaluez l’exposant.

$\frac{3}{0}$

Étape 9.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 10

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 11