Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x - 6 \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 6 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 - 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$3 - 6 (- \sin (x))$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$3 + 6 \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + 6 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (6 \sin (x))$

Étape 2.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (6 \sin (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 6 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 + 6 \cos (x)$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $6 \cos (x)$ .

$f'' (x) = 6 \cos (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 + 6 \sin (x) = 0$

Étape 4

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$6 \sin (x) = - 3$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $6 \sin (x) = - 3$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $6 \sin (x) = - 3$ par $6$ .

$\frac{6 \sin (x)}{6} = \frac{- 3}{6}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \sin (x)}{6} = \frac{- 3}{6}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 3}{6}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $6$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\sin (x) = \frac{3 (- 1)}{6}$

Étape 5.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\sin (x) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Étape 5.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 2}$

Étape 5.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 6

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 8

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 9

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 9.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 9.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 10

La solution de l’équation est $x = - \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{π}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 \cos (- \frac{π}{6})$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 12.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$6 \cos (\frac{11 π}{6})$

Étape 12.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$6 \cos (\frac{π}{6})$

Étape 12.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 12.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 12.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 12.4.3

Réécrivez l’expression.

$3 \sqrt{3}$

Étape 13

$x = - \frac{π}{6}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{π}{6}$ est un minimum local

Étape 14

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{π}{6}$ .

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Étape 14.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{π}{6}$ dans l’expression.

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (- \frac{π}{6}) - 6 \cos (- \frac{π}{6})$

Étape 14.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{6}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (\frac{- π}{6}) - 6 \cos (- \frac{π}{6})$

Étape 14.2.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (\frac{- π}{3 (2)}) - 6 \cos (- \frac{π}{6})$

Étape 14.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (\frac{- π}{3 \cdot 2}) - 6 \cos (- \frac{π}{6})$

Étape 14.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- π}{2} - 6 \cos (- \frac{π}{6})$

Étape 14.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{π}{2} - 6 \cos (- \frac{π}{6})$

Étape 14.2.1.3

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{π}{2} - 6 \cos (\frac{11 π}{6})$

Étape 14.2.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{π}{2} - 6 \cos (\frac{π}{6})$

Étape 14.2.1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{π}{2} - 6 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 14.2.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{π}{2} + 2 (- 3) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 14.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{π}{2} + 2 \cdot (- 3 \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 14.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{π}{2} - 3 \sqrt{3}$

Étape 14.2.2

La réponse finale est $- \frac{π}{2} - 3 \sqrt{3}$ .

$y = - \frac{π}{2} - 3 \sqrt{3}$

Étape 15

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{7 π}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 \cos (\frac{7 π}{6})$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 16.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$6 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Étape 16.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 16.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$6 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 16.3.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 16.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 3 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 16.3.4

Réécrivez l’expression.

$3 (- \sqrt{3})$

Étape 16.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \sqrt{3}$

Étape 17

$x = \frac{7 π}{6}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{7 π}{6}$ est un maximum local

Étape 18

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{7 π}{6}$ .

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Étape 18.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7 π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (\frac{7 π}{6}) - 6 \cos (\frac{7 π}{6})$

Étape 18.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 18.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 18.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (\frac{7 π}{3 (2)}) - 6 \cos (\frac{7 π}{6})$

Étape 18.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (\frac{7 π}{3 \cdot 2}) - 6 \cos (\frac{7 π}{6})$

Étape 18.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{7 π}{2} - 6 \cos (\frac{7 π}{6})$

Étape 18.2.1.2

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{7 π}{2} - 6 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Étape 18.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{7 π}{2} - 6 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 18.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{7 π}{2} - 6 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 18.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{7 π}{2} + 2 (- 3) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Étape 18.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{7 π}{2} + 2 \cdot (- 3 \frac{- \sqrt{3}}{2})$

Étape 18.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{7 π}{2} - 3 (- \sqrt{3})$

Étape 18.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{7 π}{2} + 3 \sqrt{3}$

Étape 18.2.2

La réponse finale est $\frac{7 π}{2} + 3 \sqrt{3}$ .

$y = \frac{7 π}{2} + 3 \sqrt{3}$

Étape 19

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 3 x - 6 \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{6}, - \frac{π}{2} - 3 \sqrt{3})$ est un minimum local

$(\frac{7 π}{6}, \frac{7 π}{2} + 3 \sqrt{3})$ est un maximum local

Étape 20