Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4.1 \sin (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4.1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4.1 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $4.1 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4.1 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$4.1 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 1.6 \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1.6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1.6 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 1.6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4.1 \cos (x) - 1.6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$4.1 \cos (x) - 1.6 (- \sin (x))$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1.6$ .

$4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4.1 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [1.6 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4.1 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4.1 \cos (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4.1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4.1 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $4.1 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 4.1 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4.1 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $4.1$ .

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + \frac{d}{d x} (1.6 \sin (x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [1.6 \sin (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $1.6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1.6 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $1.6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + 1.6 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4.1 \sin (x) + 1.6 \cos (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4.1 \cos (x) + 1.6 \sin (x) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{4.1 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4.1 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 5.2

Divisez $4.1$ par $1$ .

$4.1 + \frac{1.6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6

Séparez les fractions.

$4.1 + \frac{1.6}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$4.1 + \frac{1.6}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 8

Divisez $1.6$ par $1$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 9

Séparez les fractions.

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 10

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 11

Divisez $0$ par $1$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 12

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$4.1 + 1.6 \tan (x) = 0$

Étape 13

Soustrayez $4.1$ des deux côtés de l’équation.

$1.6 \tan (x) = - 4.1$

Étape 14

Divisez chaque terme dans $1.6 \tan (x) = - 4.1$ par $1.6$ et simplifiez.

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Étape 14.1

Divisez chaque terme dans $1.6 \tan (x) = - 4.1$ par $1.6$ .

$\frac{1.6 \tan (x)}{1.6} = \frac{- 4.1}{1.6}$

Étape 14.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 14.2.1

Annulez le facteur commun de $1.6$ .

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Étape 14.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1.6 \tan (x)}{1.6} = \frac{- 4.1}{1.6}$

Étape 14.2.1.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 4.1}{1.6}$

Étape 14.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.3.1

Divisez $- 4.1$ par $1.6$ .

$\tan (x) = - 2.5625$

Étape 15

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 2.5625)$

Étape 16

Simplifiez le côté droit.

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Étape 16.1

Évaluez $\arctan (- 2.5625)$ .

$x = - 1.19872856$

Étape 17

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - 1.19872856 - (3.14159265)$

Étape 18

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 18.1

Ajoutez $2 π$ à $- 1.19872856 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.19872856 - (3.14159265) + 2 π$

Étape 18.2

L’angle résultant de $1.94286408$ est positif et coterminal avec $- 1.19872856 - (3.14159265)$ .

$x = 1.94286408$

Étape 19

La solution de l’équation est $x = - 1.19872856$ .

$x = - 1.19872856, 1.94286408$

Étape 20

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1.19872856$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 4.1 \sin (- 1.19872856) + 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Étape 21

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 21.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 21.1.1

Multipliez $- 4.1$ par $\sin (- 1.19872856)$ .

$3.81946823 + 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Étape 21.1.2

Multipliez $1.6$ par $\cos (- 1.19872856)$ .

$3.81946823 + 0.58166797$

Étape 21.2

Additionnez $3.81946823$ et $0.58166797$ .

$4.40113621$

Étape 22

$x = - 1.19872856$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1.19872856$ est un minimum local

Étape 23

Déterminez la valeur y quand $x = - 1.19872856$ .

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Étape 23.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.19872856$ dans l’expression.

$f (- 1.19872856) = 4.1 \sin (- 1.19872856) - 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Étape 23.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 23.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 23.2.1.1

Multipliez $4.1$ par $\sin (- 1.19872856)$ .

$f (- 1.19872856) = - 3.81946823 - 1.6 \cos (- 1.19872856)$

Étape 23.2.1.2

Multipliez $- 1.6$ par $\cos (- 1.19872856)$ .

$f (- 1.19872856) = - 3.81946823 - 0.58166797$

Étape 23.2.2

Soustrayez $0.58166797$ de $- 3.81946823$ .

$f (- 1.19872856) = - 4.40113621$

Étape 23.2.3

La réponse finale est $- 4.40113621$ .

$y = - 4.40113621$

Étape 24

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1.94286408$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 4.1 \sin (1.94286408) + 1.6 \cos (1.94286408)$

Étape 25

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 25.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 25.1.1

Multipliez $- 4.1$ par $\sin (1.94286408)$ .

$- 3.81946823 + 1.6 \cos (1.94286408)$

Étape 25.1.2

Multipliez $1.6$ par $\cos (1.94286408)$ .

$- 3.81946823 - 0.58166797$

Étape 25.2

Soustrayez $0.58166797$ de $- 3.81946823$ .

$- 4.40113621$

Étape 26

$x = 1.94286408$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1.94286408$ est un maximum local

Étape 27

Déterminez la valeur y quand $x = 1.94286408$ .

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Étape 27.1

Remplacez la variable $x$ par $1.94286408$ dans l’expression.

$f (1.94286408) = 4.1 \sin (1.94286408) - 1.6 \cos (1.94286408)$

Étape 27.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 27.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 27.2.1.1

Multipliez $4.1$ par $\sin (1.94286408)$ .

$f (1.94286408) = 3.81946823 - 1.6 \cos (1.94286408)$

Étape 27.2.1.2

Multipliez $- 1.6$ par $\cos (1.94286408)$ .

$f (1.94286408) = 3.81946823 + 0.58166797$

Étape 27.2.2

Additionnez $3.81946823$ et $0.58166797$ .

$f (1.94286408) = 4.40113621$

Étape 27.2.3

La réponse finale est $4.40113621$ .

$y = 4.40113621$

Étape 28

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 4.1 \sin (x) - 1.6 \cos (x)$ .

$(- 1.19872856, - 4.40113621)$ est un minimum local

$(1.94286408, 4.40113621)$ est un maximum local

Étape 29