Calcul infinitésimal Exemples

Comme ${\displaystyle -4}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle -4x^{\frac{1}{4}}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle -4\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{1}{4}}\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=\frac{1}{4}}$.

Pour écrire ${\displaystyle -1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par ${\displaystyle \frac{4}{4}}$.

Associez ${\displaystyle -1}$ et ${\displaystyle \frac{4}{4}}$.

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Simplifiez le numérateur.

Placez le signe moins devant la fraction.

Associez ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ et ${\displaystyle x^{-\frac{3}{4}}}$.

Associez ${\displaystyle -4}$ et ${\displaystyle \frac{x^{-\frac{3}{4}}}{4}}$.

Placez ${\displaystyle x^{-\frac{3}{4}}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Factorisez ${\displaystyle 4}$ à partir de ${\displaystyle -4}$.

Annulez les facteurs communs.

Placez le signe moins devant la fraction.

Comme ${\displaystyle \frac{\sqrt[4]{19}}{19}}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle \frac{\sqrt[4]{19}}{19}x}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{\sqrt[4]{19}}{19}\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=1}$.

Multipliez ${\displaystyle \frac{\sqrt[4]{19}}{19}}$ par ${\displaystyle 1}$.

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${\displaystyle \frac{\sqrt[4]{19}}{19}-\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{\sqrt[4]{19}}{19}\right]+\frac{d}{dx}[-\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}]}$.

Comme ${\displaystyle \frac{\sqrt[4]{19}}{19}}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle \frac{\sqrt[4]{19}}{19}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 0}$.

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ est ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$ où ${\displaystyle f\left(x\right)=-1}$ et ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}}$.

Réécrivez ${\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}}$ comme ${\displaystyle {\left(x^{\frac{3}{4}}\right)}^{-1}}$.

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ est ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ où ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ et ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{3}{4}}}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=\frac{3}{4}}$.

Comme ${\displaystyle -1}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle -1}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 0}$.

Multipliez les exposants dans ${\displaystyle {\left(x^{\frac{3}{4}}\right)}^{-2}}$.

Pour écrire ${\displaystyle -1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par ${\displaystyle \frac{4}{4}}$.

Associez ${\displaystyle -1}$ et ${\displaystyle \frac{4}{4}}$.

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Simplifiez le numérateur.

Placez le signe moins devant la fraction.

Associez ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ et ${\displaystyle x^{-\frac{1}{4}}}$.

Associez ${\displaystyle \frac{3x^{-\frac{1}{4}}}{4}}$ et ${\displaystyle x^{-\frac{3}{2}}}$.

Multipliez ${\displaystyle x^{-\frac{1}{4}}}$ par ${\displaystyle x^{-\frac{3}{2}}}$ en additionnant les exposants.

Placez ${\displaystyle x^{-\frac{7}{4}}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Multipliez ${\displaystyle -1}$ par ${\displaystyle -1}$.

Multipliez ${\displaystyle \frac{3}{4x^{\frac{7}{4}}}}$ par ${\displaystyle 1}$.

Multipliez ${\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}}$ par ${\displaystyle 0}$.

Additionnez ${\displaystyle \frac{3}{4x^{\frac{7}{4}}}}$ et ${\displaystyle 0}$.

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${\displaystyle -4x^{\frac{1}{4}}+\frac{\sqrt[4]{19}}{19}x}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-4x^{\frac{1}{4}}]+\frac{d}{dx}\left[\frac{\sqrt[4]{19}}{19}x\right]}$.

Évaluez ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-4x^{\frac{1}{4}}]}$.

Évaluez ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{\sqrt[4]{19}}{19}x\right]}$.

Remettez les termes dans l’ordre.

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

Comme ${\displaystyle x^{\frac{3}{4}},19}$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique ${\displaystyle 1,19}$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable ${\displaystyle x^{\frac{3}{4}}}$.

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

Le nombre ${\displaystyle 1}$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

${\displaystyle 19}$ n’a pas de facteur hormis ${\displaystyle 1}$ et ${\displaystyle 19}$.

Le plus petit multiple commun de ${\displaystyle 1,19}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

Le plus petit multiple commun de ${\displaystyle x^{\frac{3}{4}}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

Le plus petit multiple commun pour ${\displaystyle x^{\frac{3}{4}},19}$ est la partie numérique ${\displaystyle 19}$ multipliée par la partie variable.

Multipliez chaque terme dans ${\displaystyle -\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}=-\frac{\sqrt[4]{19}}{19}}$ par ${\displaystyle 19x^{\frac{3}{4}}}$.

Simplifiez le côté gauche.

Simplifiez le côté droit.