Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 35 x - 2 e^{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $35 x - 2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [35 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $35$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $35 x$ par rapport à $x$ est $35 \frac{d}{d x} [x]$ .

$35 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$35 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $35$ par $1$ .

$35 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$35 - 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$35 - 2 e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $35 - 2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [35] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (35) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

Étape 2.1.2

Comme $35$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $35$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} e^{x}$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 0 - 2 e^{x}$

Étape 2.3

Soustrayez $2 e^{x}$ de $0$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$35 - 2 e^{x} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $35 x - 2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [35 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [35 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $35$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $35 x$ par rapport à $x$ est $35 \frac{d}{d x} [x]$ .

$35 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$35 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $35$ par $1$ .

$35 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$35 - 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = 35 - 2 e^{x}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $35 - 2 e^{x}$ .

$35 - 2 e^{x}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $35 - 2 e^{x} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$35 - 2 e^{x} = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $35$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 e^{x} = - 35$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- 2 e^{x} = - 35$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 e^{x} = - 35$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 e^{x}}{- 2} = \frac{- 35}{- 2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 e^{x}}{- 2} = \frac{- 35}{- 2}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $e^{x}$ par $1$ .

$e^{x} = \frac{- 35}{- 2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$e^{x} = \frac{35}{2}$

Étape 5.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{35}{2})$

Étape 5.5

Développez le côté gauche.

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Étape 5.5.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (\frac{35}{2})$

Étape 5.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{35}{2})$

Étape 5.5.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (\frac{35}{2})$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \ln (\frac{35}{2})$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \ln (\frac{35}{2})$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 e^{\ln (\frac{35}{2})}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$- 2 (\frac{35}{2})$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{35}{2}$

Étape 9.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{35}{2}$

Étape 9.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 35$

Étape 9.3

Multipliez $- 1$ par $35$ .

$- 35$

Étape 10

$x = \ln (\frac{35}{2})$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \ln (\frac{35}{2})$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \ln (\frac{35}{2})$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\ln (\frac{35}{2})$ dans l’expression.

$f (\ln (\frac{35}{2})) = 35 (\ln (\frac{35}{2})) - 2 e^{\ln (\frac{35}{2})}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Simplifiez $35 (\ln (\frac{35}{2}))$ en déplaçant $35$ dans le logarithme.

$f (\ln (\frac{35}{2})) = \ln ({(\frac{35}{2})}^{35}) - 2 e^{\ln (\frac{35}{2})}$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{35}{2}$ .

$f (\ln (\frac{35}{2})) = \ln (\frac{35^{35}}{2^{35}}) - 2 e^{\ln (\frac{35}{2})}$

Étape 11.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $35$ .

$f (\ln (\frac{35}{2})) = \ln (\frac{35^{35}}{34359738368}) - 2 e^{\ln (\frac{35}{2})}$

Étape 11.2.1.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (\frac{35}{2})) = \ln (\frac{35^{35}}{34359738368}) - 2 (\frac{35}{2})$

Étape 11.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\ln (\frac{35}{2})) = \ln (\frac{35^{35}}{34359738368}) + 2 (- 1) (\frac{35}{2})$

Étape 11.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\ln (\frac{35}{2})) = \ln (\frac{35^{35}}{34359738368}) + 2 \cdot (- 1 (\frac{35}{2}))$

Étape 11.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\ln (\frac{35}{2})) = \ln (\frac{35^{35}}{34359738368}) - 1 \cdot 35$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $35$ .

$f (\ln (\frac{35}{2})) = \ln (\frac{35^{35}}{34359738368}) - 35$

Étape 11.2.2

La réponse finale est $\ln (\frac{35^{35}}{34359738368}) - 35$ .

$y = \ln (\frac{35^{35}}{34359738368}) - 35$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 35 x - 2 e^{x}$ .

$(\ln (\frac{35}{2}), \ln (\frac{35^{35}}{34359738368}) - 35)$ est un maximum local

Étape 13