Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 32 x^{0.25}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32 x^{0.25}$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 0.25$ .

$32 (0.25 x^{- 0.75})$

Étape 1.3

Multipliez $0.25$ par $32$ .

$8 x^{- 0.75}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{0.75}}$

Étape 1.4.2

Associez $8$ et $\frac{1}{x^{0.75}}$ .

$\frac{8}{x^{0.75}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8}{x^{0.75}}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{0.75}}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{0.75}})$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{0.75}}$ comme ${(x^{0.75})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(x^{0.75})}^{- 1})$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{0.75})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{0.75 \cdot - 1})$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $0.75$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{- 0.75})$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 0.75$ .

$f'' (x) = 8 (- 0.75 x^{- 1.75})$

Étape 2.4

Multipliez $- 0.75$ par $8$ .

$f'' (x) = - 6 x^{- 1.75}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{1}{x^{1.75}}$

Étape 2.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.5.2.1

Associez $- 6$ et $\frac{1}{x^{1.75}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6}{x^{1.75}}$

Étape 2.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{1.75}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{8}{x^{0.75}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32 x^{0.25}$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 0.25$ .

$32 (0.25 x^{- 0.75})$

Étape 4.1.3

Multipliez $0.25$ par $32$ .

$8 x^{- 0.75}$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{0.75}}$

Étape 4.1.4.2

Associez $8$ et $\frac{1}{x^{0.75}}$ .

$f' (x) = \frac{8}{x^{0.75}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{8}{x^{0.75}}$ .

$\frac{8}{x^{0.75}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{8}{x^{0.75}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{8}{x^{0.75}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8 = 0$

Étape 5.3

Comme $8 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Transformez $0.75$ en une fraction.

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Étape 6.1.1.1

Multipliez par $\frac{100}{100}$ pour retirer la décimale.

$\frac{8}{x^{\frac{100 \cdot 0.75}{100}}}$

Étape 6.1.1.2

Multipliez $100$ par $0.75$ .

$\frac{8}{x^{\frac{75}{100}}}$

Étape 6.1.1.3

Annulez le facteur commun à $75$ et $100$ .

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Étape 6.1.1.3.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$\frac{8}{x^{\frac{25 (3)}{100}}}$

Étape 6.1.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Factorisez $25$ à partir de $100$ .

$\frac{8}{x^{\frac{25 \cdot 3}{25 \cdot 4}}}$

Étape 6.1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{x^{\frac{25 \cdot 3}{25 \cdot 4}}}$

Étape 6.1.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{x^{\frac{3}{4}}}$

Étape 6.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{8}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{8}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[4]{x^{3}} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $4$ .

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 0^{4}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{4}}$ .

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Étape 6.3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{3} = 0^{4}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 6.3.3.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 6.3.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 6.4

Définissez le radicande dans $\sqrt[4]{x^{3}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} < 0$

Étape 6.5

Résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Étape 6.5.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 6.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 6.5.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 6.5.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < 0$

Étape 6.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{6}{{(0)}^{1.75}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{6}{0}$

Étape 9.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 10

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 11