Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{y} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{y} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{y}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{y}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{y}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{y}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{y}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = y$ .

$3 y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 y x^{y - 1} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 y x^{y - 1} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 24 x + 0$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Additionnez $3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 24 x$ et $0$ .

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 24 x$

Étape 1.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 12 x^{2} + 3 x^{y - 1} y - 24 x$

Étape 1.6.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 12 x^{2} + 3 x^{y - 1} y - 24 x$ .

$- 12 x^{2} + 3 y x^{y - 1} - 24 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 12 x^{2} + 3 y x^{y - 1} - 24 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y x^{y - 1}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3 y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (3 y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f'' (x) = - 24 x + \frac{d}{d x} (3 y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y x^{y - 1}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y x^{y - 1}$ par rapport à $x$ est $3 y \frac{d}{d x} [x^{y - 1}]$ .

$f'' (x) = - 24 x + 3 y \frac{d}{d x} (x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = y - 1$ .

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 1 - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 2.3.3

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 2}) - 24 \frac{d}{d x} x$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 2}) - 24 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 2}) - 24$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 3 x^{y - 2} y (y - 1) - 24 x - 24$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 12 x^{2} + 3 y x^{y - 1} - 24 x = 0$

Étape 4

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 5

Aucun extremum local

Étape 6