Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 3 + \log_{\frac{1}{3}} (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 + \log_{\frac{1}{3}} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\log_{\frac{1}{3}} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [\log_{\frac{1}{3}} (x)]$

Étape 1.1.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\log_{\frac{1}{3}} (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\log_{\frac{1}{3}} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})}$ .

$0 + \frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})}$

Étape 1.3

Additionnez $0$ et $\frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})}$ .

$\frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{\ln (\frac{1}{3})}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\ln (\frac{1}{3})} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{\ln (\frac{1}{3})} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{\ln (\frac{1}{3})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{\ln (\frac{1}{3})} \cdot (- x^{- 2})$

Étape 2.4

Associez les fractions.

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Étape 2.4.1

Associez $\frac{1}{\ln (\frac{1}{3})}$ et $x^{- 2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 2}}{\ln (\frac{1}{3})}$

Étape 2.4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.2.1

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{\ln (\frac{1}{3}) x^{2}}$

Étape 2.4.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{1}{\ln (\frac{1}{3}) x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2} \ln (\frac{1}{3})}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{1}{x \ln (\frac{1}{3})} = 0$

Étape 4

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 5

Aucun extremum local

Étape 6