Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 \csc (4 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \csc (4 x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\csc (u)$ par rapport à $u$ est $- \csc (u) \cot (u)$ .

$3 (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$3 (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 (\csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 1.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \csc (4 x) \cot (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x) \cdot 1$

Étape 1.3.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.1

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x)$

Étape 1.3.5.2

Réorganisez les facteurs de $- 12 \csc (4 x) \cot (4 x)$ .

$- 12 \cot (4 x) \csc (4 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 \cot (4 x) \csc (4 x)$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [\cot (4 x) \csc (4 x)]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} (\cot (4 x) \csc (4 x))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cot (4 x)$ et $g (x) = \csc (4 x)$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) \frac{d}{d x} (\csc (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (\frac{d}{d u (1)} (\csc (u_{1})) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\csc (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Étape 2.4

Élevez $\cot (4 x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) (\cot (4 x) \cot (4 x)) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Étape 2.5

Élevez $\cot (4 x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) (\cot (4 x) \cot (4 x)) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) {\cot (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Étape 2.7

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Étape 2.7.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Étape 2.7.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \frac{d}{d x} x + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Étape 2.7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \cdot 1 + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Étape 2.7.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (\frac{d}{d u (2)} (\cot (u_{2})) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Étape 2.8.2

La dérivée de $\cot (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Étape 2.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (- \csc^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Étape 2.9

Élevez $\csc (4 x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc (4 x) \csc^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

Étape 2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - {\csc (4 x)}^{1 + 2} \frac{d}{d x} (4 x))$

Étape 2.11

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc^{3} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

Étape 2.12

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc^{3} (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 2.13

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x) \frac{d}{d x} x)$

Étape 2.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x) \cdot 1)$

Étape 2.15

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x))$

Étape 2.16

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x)) - 12 (- 4 \csc^{3} (4 x))$

Étape 2.16.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.16.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$f'' (x) = 48 (\csc (4 x) \cot^{2} (4 x)) - 12 (- 4 \csc^{3} (4 x))$

Étape 2.16.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$f'' (x) = 48 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + 48 \csc^{3} (4 x)$

Étape 2.16.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 48 \cot^{2} (4 x) \csc (4 x) + 48 \csc^{3} (4 x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 12 \cot (4 x) \csc (4 x) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cot (4 x) = 0$

$\csc (4 x) = 0$

Étape 5

Définissez $\cot (4 x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $\cot (4 x)$ égal à $0$ .

$\cot (4 x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\cot (4 x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$4 x = arccot (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $arccot (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$4 x = \frac{π}{2}$

Étape 5.2.3

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{2}$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{2}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Étape 5.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

Étape 5.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 5.2.3.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

Étape 5.2.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{π}{8}$

Étape 5.2.4

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$4 x = π + \frac{π}{2}$

Étape 5.2.5

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 5.2.5.1.2

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 5.2.5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Étape 5.2.5.1.4

Additionnez $π \cdot 2$ et $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $2$ .

$4 x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Étape 5.2.5.1.4.2

Additionnez $2 \cdot π$ et $π$ .

$4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$

Étape 5.2.5.2

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

Étape 5.2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

Étape 5.2.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

Étape 5.2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 \cdot π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 5.2.5.2.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.2.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

Étape 5.2.5.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Étape 5.2.6

La solution de l’équation est $4 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

Étape 6

Définissez $\csc (4 x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez $\csc (4 x)$ égal à $0$ .

$\csc (4 x) = 0$

Étape 6.2

La plage de la cosécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 12 \cot (4 x) \csc (4 x) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{8}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$48 \cot^{2} (4 (\frac{π}{8})) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$48 \cot^{2} (4 \frac{π}{4 (2)}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Étape 9.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$48 \cot^{2} (4 \frac{π}{4 \cdot 2}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Étape 9.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$48 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Étape 9.1.2

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$48 \cdot 0^{2} \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$48 \cdot 0 \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Étape 9.1.4

Multipliez $48$ par $0$ .

$0 \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Étape 9.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$0 \csc (4 \frac{π}{4 (2)}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Étape 9.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$0 \csc (4 \frac{π}{4 \cdot 2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Étape 9.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$0 \csc (\frac{π}{2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Étape 9.1.6

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 \cdot 1 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Étape 9.1.7

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

Étape 9.1.8

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{π}{4 (2)})$

Étape 9.1.8.2

Annulez le facteur commun.

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{π}{4 \cdot 2})$

Étape 9.1.8.3

Réécrivez l’expression.

$0 + 48 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Étape 9.1.9

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 + 48 \cdot 1^{3}$

Étape 9.1.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 + 48 \cdot 1$

Étape 9.1.11

Multipliez $48$ par $1$ .

$0 + 48$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $48$ .

$48$

Étape 10

$x = \frac{π}{8}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{8}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{8}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{8}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{8}))$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{4 (2)}))$

Étape 11.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{4 \cdot 2}))$

Étape 11.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (\frac{π}{2})$

Étape 11.2.2

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = 3 \cdot 1$

Étape 11.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = 3$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $3$ .

$y = 3$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 π}{8}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$48 \cot^{2} (4 (\frac{3 π}{8})) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$48 \cot^{2} (4 \frac{3 π}{4 (2)}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Étape 13.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$48 \cot^{2} (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Étape 13.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$48 \cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Étape 13.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cotangente est négative dans le quatrième quadrant.

$48 {(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Étape 13.1.3

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$48 {(- 0)}^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Étape 13.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$48 \cdot 0^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Étape 13.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$48 \cdot 0 \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Étape 13.1.6

Multipliez $48$ par $0$ .

$0 \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Étape 13.1.7

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$0 \csc (4 \frac{3 π}{4 (2)}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Étape 13.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$0 \csc (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Étape 13.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Étape 13.1.8

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cosécante est négative dans le quatrième quadrant.

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Étape 13.1.9

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Étape 13.1.10

Multipliez $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 \cdot - 1 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Étape 13.1.10.2

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

Étape 13.1.11

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.11.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{3 π}{4 (2)})$

Étape 13.1.11.2

Annulez le facteur commun.

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2})$

Étape 13.1.11.3

Réécrivez l’expression.

$0 + 48 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Étape 13.1.12

$0 + 48 {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

Étape 13.1.13

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 + 48 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Étape 13.1.14

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 + 48 {(- 1)}^{3}$

Étape 13.1.15

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$0 + 48 \cdot - 1$

Étape 13.1.16

Multipliez $48$ par $- 1$ .

$0 - 48$

Étape 13.2

Soustrayez $48$ de $0$ .

$- 48$

Étape 14

$x = \frac{3 π}{8}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 π}{8}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 π}{8}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{8}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{8}))$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{4 (2)}))$

Étape 15.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{4 \cdot 2}))$

Étape 15.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (\frac{3 π}{2})$

Étape 15.2.2

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 (- \csc (\frac{π}{2}))$

Étape 15.2.3

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Étape 15.2.4

Multipliez $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \cdot - 1$

Étape 15.2.4.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 3$

Étape 15.2.5

La réponse finale est $- 3$ .

$y = - 3$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 3 \csc (4 x)$ .

$(\frac{π}{8}, 3)$ est un minimum local

$(\frac{3 π}{8}, - 3)$ est un maximum local

Étape 17