Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 3 x + 6 \ln (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x + 6 \ln (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \ln (2 x)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$ .

$- 3 + 6 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$- 3 + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} (2 \cdot 1))$

Étape 1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} \cdot 2)$

Étape 1.3.6

Associez $\frac{1}{2 x}$ et $2$ .

$- 3 + 6 \frac{2}{2 x}$

Étape 1.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$- 3 + 6 \frac{2}{2 x}$

Étape 1.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$- 3 + 6 \frac{1}{x}$

Étape 1.3.8

Associez $6$ et $\frac{1}{x}$ .

$- 3 + \frac{6}{x}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6}{x} - 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{6}{x} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{6}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6}{x}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 6 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.4

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f'' (x) = - 6 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 6 x^{- 2} + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $- 6$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6}{x^{2}} + 0$

Étape 2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{2}} + 0$

Étape 2.4.2.3

Additionnez $- \frac{6}{x^{2}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{x^{2}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{6}{x} - 3 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x + 6 \ln (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3 + \frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 \ln (2 x)]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \ln (2 x)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$ .

$- 3 + 6 \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$- 3 + 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.1.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} (2 \cdot 1))$

Étape 4.1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 3 + 6 (\frac{1}{2 x} \cdot 2)$

Étape 4.1.3.6

Associez $\frac{1}{2 x}$ et $2$ .

$- 3 + 6 \frac{2}{2 x}$

Étape 4.1.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$- 3 + 6 \frac{2}{2 x}$

Étape 4.1.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$- 3 + 6 \frac{1}{x}$

Étape 4.1.3.8

Associez $6$ et $\frac{1}{x}$ .

$- 3 + \frac{6}{x}$

Étape 4.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{6}{x} - 3$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{6}{x} - 3$ .

$\frac{6}{x} - 3$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{6}{x} - 3 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{6}{x} - 3 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{6}{x} = 3$

Étape 5.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1$

Étape 5.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 5.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{6}{x} = 3$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{6}{x} = 3$ par $x$ .

$\frac{6}{x} x = 3 x$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6}{x} x = 3 x$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$6 = 3 x$

Étape 5.5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $3 x = 6$ .

$3 x = 6$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 6$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 6$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{6}{3}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{6}{3}$

Étape 5.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{6}{3}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.3.1

Divisez $6$ par $3$ .

$x = 2$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{6}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 2$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{6}{{(2)}^{2}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{6}{4}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- \frac{2 (3)}{4}$

Étape 9.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Étape 9.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Étape 9.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3}{2}$

Étape 10

$x = 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = - 3 \cdot 2 + 6 \ln (2 (2))$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f (2) = - 6 + 6 \ln (2 (2))$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (2) = - 6 + 6 \ln (4)$

Étape 11.2.1.3

Simplifiez $6 \ln (4)$ en déplaçant $6$ dans le logarithme.

$f (2) = - 6 + \ln (4^{6})$

Étape 11.2.1.4

Élevez $4$ à la puissance $6$ .

$f (2) = - 6 + \ln (4096)$

Étape 11.2.2

La réponse finale est $- 6 + \ln (4096)$ .

$y = - 6 + \ln (4096)$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - 3 x + 6 \ln (2 x)$ .

$(2, - 6 + \ln (4096))$ est un maximum local

Étape 13