Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 + {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [{(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [{(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = 8 + 3 x$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 + 3 x$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [8 + 3 x]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$0 + \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 + 3 x]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 + 3 x$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 + 3 x]$

Étape 1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 + 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 1.2.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 1.2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + 3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + 3 \cdot 1)$

Étape 1.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 + 3 \cdot 1)$

Étape 1.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 + 3 \cdot 1)$

Étape 1.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (0 + 3 \cdot 1)$

Étape 1.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} (0 + 3 \cdot 1)$

Étape 1.2.9.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{\frac{- 1}{3}} (0 + 3 \cdot 1)$

Étape 1.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 + 3 \cdot 1)$

Étape 1.2.11

Multipliez $3$ par $1$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 + 3)$

Étape 1.2.12

Additionnez $0$ et $3$ .

$0 + \frac{2}{3} {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 3$

Étape 1.2.13

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$0 + \frac{2 {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 3$

Étape 1.2.14

Associez $\frac{2 {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ et $3$ .

$0 + \frac{2 {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 3}{3}$

Étape 1.2.15

Multipliez $3$ par $2$ .

$0 + \frac{6 {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.2.16

Placez ${(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{6}{3 {(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.2.17

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$0 + \frac{3 \cdot 2}{3 {(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.2.18

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.18.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$0 + \frac{3 \cdot 2}{3 ({(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}})}$

Étape 1.2.18.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{3 \cdot 2}{3 {(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.2.18.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{2}{{(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Additionnez $0$ et $\frac{2}{{(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{{(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ comme ${({(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({({(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Étape 2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(3 x + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1})$

Étape 2.1.2.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(3 x + 8)}^{\frac{- 1}{3}})$

Étape 2.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(3 x + 8)}^{- \frac{1}{3}})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ et $g (x) = 3 x + 8$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x + 8$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 8$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{1}{3} \cdot {(3 x + 8)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{1}{3} \cdot {(3 x + 8)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{1}{3} \cdot {(3 x + 8)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 2 (- \frac{1}{3} \cdot {(3 x + 8)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{1}{3} \cdot {(3 x + 8)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{1}{3} \cdot {(3 x + 8)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 2 (- \frac{1}{3} \cdot {(3 x + 8)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Étape 2.7.2

Associez ${(3 x + 8)}^{- \frac{4}{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{{(3 x + 8)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Étape 2.7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.7.3.1

Placez ${(3 x + 8)}^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (- \frac{1}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Étape 2.7.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{1}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 x + 8))$

Étape 2.7.4

Associez $\frac{1}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$ et $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 x + 8)$

Étape 2.7.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 x + 8)$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (8))$

Étape 2.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8))$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8))$

Étape 2.11

Multipliez $3$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (3 + \frac{d}{d x} (8))$

Étape 2.12

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (3 + 0)$

Étape 2.13

Simplifiez les termes.

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Étape 2.13.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 3$

Étape 2.13.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.13.3

Associez $- 3$ et $\frac{2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 \cdot 2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.13.4

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.13.5

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{3 \cdot - 2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.14.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 \cdot - 2}{3 ({(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.14.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{3 \cdot - 2}{3 {(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.14.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [{(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} ({(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}})$

Étape 4.1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ({(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}})$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = 8 + 3 x$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 + 3 x$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (8 + 3 x)$

Étape 4.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 + 3 x)$

Étape 4.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 + 3 x$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot {(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (8 + 3 x)$

Étape 4.1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 + 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (3 x)))$

Étape 4.1.2.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (3 x)))$

Étape 4.1.2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + 3 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 4.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + 3 \cdot 1))$

Étape 4.1.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 + 3 \cdot 1))$

Étape 4.1.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 + 3 \cdot 1))$

Étape 4.1.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (0 + 3 \cdot 1))$

Étape 4.1.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} (0 + 3 \cdot 1))$

Étape 4.1.2.9.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{\frac{- 1}{3}} (0 + 3 \cdot 1))$

Étape 4.1.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 + 3 \cdot 1))$

Étape 4.1.2.11

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot ({(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}} (0 + 3))$

Étape 4.1.2.12

Additionnez $0$ et $3$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 3$

Étape 4.1.2.13

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2 {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 3$

Étape 4.1.2.14

Associez $\frac{2 {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ et $3$ .

$f' (x) = 0 + \frac{2 {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 3}{3}$

Étape 4.1.2.15

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (x) = 0 + \frac{6 {(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 4.1.2.16

Placez ${(8 + 3 x)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{6}{3 {(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.2.17

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 2}{3 {(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.2.18

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.18.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 2}{3 ({(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}})}$

Étape 4.1.2.18.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 2}{3 {(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.2.18.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = 0 + \frac{2}{{(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.1.3.1

Additionnez $0$ et $\frac{2}{{(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(8 + 3 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.1.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 5.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{2}{\sqrt[3]{{(3 x + 8)}^{1}}}$

Étape 6.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{2}{\sqrt[3]{3 x + 8}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{\sqrt[3]{3 x + 8}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[3]{3 x + 8} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{3 x + 8}}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{3 x + 8}$ comme ${(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${({(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 x + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 x + 8)}^{1} = 0^{3}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Simplifiez

$3 x + 8 = 0^{3}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 x + 8 = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 8$

Étape 6.3.3.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 8$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 8$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Étape 6.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Étape 6.3.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 8}{3}$

Étape 6.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{8}{3}$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{8}{3}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{8}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2}{{(3 (- \frac{8}{3}) + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8}{3}$ dans le numérateur.

$- \frac{2}{{(3 (\frac{- 8}{3}) + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2}{{(3 (\frac{- 8}{3}) + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.1.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2}{{(- 8 + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.1

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$- \frac{2}{0^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2.2

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$- \frac{2}{{(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 9.2.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2}{0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 9.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2}{0^{4}}$

Étape 9.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Étape 9.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{8}{3}) \cup (- \frac{8}{3}, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 5$ , de l’intervalle $(- \infty, - \frac{8}{3})$ dans la dérivée première $\frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f' (- 5) = \frac{2}{{(3 (- 5) + 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$f' (- 5) = \frac{2}{{(- 15 + 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.2.2.1.2

Additionnez $- 15$ et $8$ .

$f' (- 5) = \frac{2}{{(- 7)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.2.2.2

La réponse finale est $\frac{2}{{(- 7)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{{(- 7)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \frac{8}{3}, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{2}{{(3 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = \frac{2}{{(3 (0) + 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.3.2.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$f' (0) = \frac{2}{{(0 + 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.3.2.1.2

Additionnez $0$ et $8$ .

$f' (0) = \frac{2}{8^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.3.2.1.3

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$f' (0) = \frac{2}{{(2^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 10.3.2.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{2}{2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Étape 10.3.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.3.2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$f' (0) = \frac{2}{2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Étape 10.3.2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$f' (0) = \frac{2}{2}$

Étape 10.3.2.1.6

Évaluez l’exposant.

$f' (0) = \frac{2}{2}$

Étape 10.3.2.2

Divisez $2$ par $2$ .

$f' (0) = 1$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 10.4

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - \frac{8}{3}$ , $x = - \frac{8}{3}$ est un minimum local.

$x = - \frac{8}{3}$ est un minimum local

Étape 11