Calcul infinitésimal Exemples

$\int x {(6 + \sqrt{x})}^{2} d x$

Étape 1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez ${(6 + \sqrt{x})}^{2}$ comme $(6 + \sqrt{x}) (6 + \sqrt{x})$ .

$\int x ((6 + \sqrt{x}) (6 + \sqrt{x})) d x$

Étape 1.2

Développez $(6 + \sqrt{x}) (6 + \sqrt{x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x (6 (6 + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (6 + \sqrt{x})) d x$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{x} + \sqrt{x} (6 + \sqrt{x})) d x$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int x (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 6 + \sqrt{x} \sqrt{x}) d x$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 6 + \sqrt{x} \sqrt{x}) d x$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $\sqrt{x}$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}) d x$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.3.1

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}) d x$

Étape 1.3.1.3.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}) d x$

Étape 1.3.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1}) d x$

Étape 1.3.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{2}) d x$

Étape 1.3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) d x$

Étape 1.3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) d x$

Étape 1.3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}) d x$

Étape 1.3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}) d x$

Étape 1.3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x^{1}) d x$

Étape 1.3.1.4.5

Simplifiez

$\int x (36 + 6 \sqrt{x} + 6 \sqrt{x} + x) d x$

Étape 1.3.2

Additionnez $6 \sqrt{x}$ et $6 \sqrt{x}$ .

$\int x (36 + 12 \sqrt{x} + x) d x$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int x \cdot 36 + x (12 \sqrt{x}) + x \cdot x d x$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Déplacez $36$ à gauche de $x$ .

$\int 36 \cdot x + x (12 \sqrt{x}) + x \cdot x d x$

Étape 1.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int 36 \cdot x + 12 x \sqrt{x} + x \cdot x d x$

Étape 1.5.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$\int 36 \cdot x + 12 x \sqrt{x} + x^{2} d x$

$\int 36 x + 12 x \sqrt{x} + x^{2} d x$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 36 x + 12 x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{2} d x$

Étape 2.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 36 x + 12 (x^{\frac{1}{2}} x) + x^{2} d x$

Étape 2.2.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int 36 x + 12 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) + x^{2} d x$

Étape 2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 36 x + 12 x^{\frac{1}{2} + 1} + x^{2} d x$

Étape 2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int 36 x + 12 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + x^{2} d x$

Étape 2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 36 x + 12 x^{\frac{1 + 2}{2}} + x^{2} d x$

Étape 2.2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int 36 x + 12 x^{\frac{3}{2}} + x^{2} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 36 x d x + \int 12 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{2} d x$

Étape 4

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , placez $36$ en dehors de l’intégrale.

$36 \int x d x + \int 12 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{2} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$36 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 12 x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{2} d x$

Étape 6

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$36 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 12 \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int x^{2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$36 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 12 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \int x^{2} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$36 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 12 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$36 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 12 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 9.1.2

Associez $\frac{2}{5}$ et $x^{\frac{5}{2}}$ .

$36 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 12 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

$18 x^{2} + \frac{24 x^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$18 x^{2} + \frac{24}{5} x^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{3} x^{3} + C$