Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} x \sin (2 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{\frac{π}{3}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\cos (2 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{\frac{π}{3}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Étape 3

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- \frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x)$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \cos (2 x) d x$

Étape 5

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{3}$

Étape 5.5

Associez $2$ et $\frac{π}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{2 π}{3}$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 6

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{2 π}{3}} \cos (u) d u$

Étape 9

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ sur $\frac{π}{3}$ et sur $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{3} \cos (2 \frac{π}{3})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{\frac{2 π}{3}}$

Étape 10.2

Évaluez $\sin (u)$ sur $\frac{2 π}{3}$ et sur $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{3} \cos (2 \frac{π}{3})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Associez $2$ et $\frac{π}{3}$ .

$- \frac{\frac{π}{3} \cos (\frac{2 π}{3})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Étape 10.3.2

Associez $\frac{π}{3}$ et $\cos (\frac{2 π}{3})$ .

$- \frac{\frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{3}}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Étape 10.3.3

Réécrivez $\frac{\frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{3}}{2}$ comme un produit.

$- (\frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{3} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Étape 10.3.4

Multipliez $\frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{3 \cdot 2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Étape 10.3.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Étape 10.3.6

Multipliez $2$ par $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Étape 10.3.7

Multipliez $0$ par $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Étape 10.3.8

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 10.3.8.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Étape 10.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Étape 10.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Étape 10.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Étape 10.3.8.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Étape 10.3.9

Additionnez $- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6}$ et $0$ .

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{1}{4} ((\sin (\frac{2 π}{3})) - \sin (0))$

Étape 10.3.10

Pour écrire $\frac{1}{4} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{1}{4} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0)) \cdot \frac{6}{6}$

Étape 10.3.11

Associez $\frac{1}{4} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))$ et $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{π \cos (\frac{2 π}{3})}{6} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0)) \cdot 6}{6}$

Étape 10.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{1}{4} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0)) \cdot 6}{6}$

Étape 10.3.13

Associez $6$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{6}{4} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))}{6}$

Étape 10.3.14

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 10.3.14.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{2 (3)}{4} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))}{6}$

Étape 10.3.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.14.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))}{6}$

Étape 10.3.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))}{6}$

Étape 10.3.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - \sin (0))}{6}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) - 0)}{6}$

Étape 11.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3}{2} (\sin (\frac{2 π}{3}) + 0)}{6}$

Étape 11.3

Additionnez $\sin (\frac{2 π}{3})$ et $0$ .

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3}{2} \sin (\frac{2 π}{3})}{6}$

Étape 11.4

Associez $\frac{3}{2}$ et $\sin (\frac{2 π}{3})$ .

$\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2}}{6}$

Étape 11.5

Multipliez $\frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2}}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2}}{6}$

Étape 11.6

Associez.

$\frac{2 (- π \cos (\frac{2 π}{3}) + \frac{3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2})}{2 \cdot 6}$

Étape 11.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- π \cos (\frac{2 π}{3})) + 2 \frac{3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2}}{2 \cdot 6}$

Étape 11.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- π \cos (\frac{2 π}{3})) + 2 \frac{3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2}}{2 \cdot 6}$

Étape 11.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (- π \cos (\frac{2 π}{3})) + 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2 \cdot 6}$

Étape 11.9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 (π \cos (\frac{2 π}{3})) + 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{2 \cdot 6}$

Étape 11.10

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{- 2 π \cos (\frac{2 π}{3}) + 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Étape 11.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 π \cos (\frac{2 π}{3})$ .

$\frac{- (2 π \cos (\frac{2 π}{3})) + 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Étape 11.12

Factorisez $- 1$ à partir de $3 \sin (\frac{2 π}{3})$ .

$\frac{- (2 π \cos (\frac{2 π}{3})) - (- 3 \sin (\frac{2 π}{3}))}{12}$

Étape 11.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 π \cos (\frac{2 π}{3})) - (- 3 \sin (\frac{2 π}{3}))$ .

$\frac{- (2 π \cos (\frac{2 π}{3}) - 3 \sin (\frac{2 π}{3}))}{12}$

Étape 11.14

Réécrivez $- (2 π \cos (\frac{2 π}{3}) - 3 \sin (\frac{2 π}{3}))$ comme $- 1 (2 π \cos (\frac{2 π}{3}) - 3 \sin (\frac{2 π}{3}))$ .

$\frac{- 1 (2 π \cos (\frac{2 π}{3}) - 3 \sin (\frac{2 π}{3}))}{12}$

Étape 11.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 π \cos (\frac{2 π}{3}) - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \frac{2 π (- \cos (\frac{π}{3})) - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Étape 12.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2 π (- \frac{1}{2}) - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Étape 12.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$- \frac{2 π \frac{- 1}{2} - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Étape 12.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$- \frac{2 (π) \frac{- 1}{2} - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Étape 12.3.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 π \frac{- 1}{2} - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Étape 12.3.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{π \cdot - 1 - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Étape 12.4

Déplacez $- 1$ à gauche de $π$ .

$- \frac{- 1 \cdot π - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Étape 12.5

Réécrivez $- 1 π$ comme $- π$ .

$- \frac{- π - 3 \sin (\frac{2 π}{3})}{12}$

Étape 12.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \frac{- π - 3 \sin (\frac{π}{3})}{12}$

Étape 12.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{- π - 3 \frac{\sqrt{3}}{2}}{12}$

Étape 12.8

Associez $- 3$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{- π + \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}}{12}$

Étape 12.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{- π - \frac{3 \sqrt{3}}{2}}{12}$

Étape 12.9.2

Pour écrire $- π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{- π \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{2}}{12}$

Étape 12.9.3

Associez $- π$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\frac{- π \cdot 2}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{2}}{12}$

Étape 12.9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\frac{- π \cdot 2 - 3 \sqrt{3}}{2}}{12}$

Étape 12.9.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{\frac{- 2 π - 3 \sqrt{3}}{2}}{12}$

Étape 12.10

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (\frac{- 2 π - 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{12})$

Étape 12.11

Multipliez $\frac{- 2 π - 3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{12}$ .

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Étape 12.11.1

Multipliez $\frac{- 2 π - 3 \sqrt{3}}{2}$ par $\frac{1}{12}$ .

$- \frac{- 2 π - 3 \sqrt{3}}{2 \cdot 12}$

Étape 12.11.2

Multipliez $2$ par $12$ .

$- \frac{- 2 π - 3 \sqrt{3}}{24}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{- 2 π - 3 \sqrt{3}}{24}$

Forme décimale :

$0.47830573 \dots$