Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{z}{(z - 1) {(z - 2)}^{2}} d z$

Étape 1

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

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Étape 1.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{z - 1}$

Étape 1.1.2

$\frac{A}{z - 1} + \frac{B}{{(z - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.3

$\frac{A}{z - 1} + \frac{B}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{C}{z - 2}$

Étape 1.1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(z - 1) {(z - 2)}^{2}$ .

$\frac{z (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{(z - 1) {(z - 2)}^{2}} = \frac{(A) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 1} + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.5

Annulez le facteur commun de $z - 1$ .

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Étape 1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{z (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{(z - 1) {(z - 2)}^{2}} = \frac{(A) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 1} + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{z {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} = \frac{(A) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 1} + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.6

Annulez le facteur commun de ${(z - 2)}^{2}$ .

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Étape 1.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{z {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} = \frac{(A) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 1} + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.6.2

Divisez $z$ par $1$ .

$z = \frac{(A) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 1} + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.7.1

Annulez le facteur commun de $z - 1$ .

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Étape 1.1.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$z = \frac{A (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 1} + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.7.1.2

Divisez $(A) {(z - 2)}^{2}$ par $1$ .

$z = (A) {(z - 2)}^{2} + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.7.2

Réécrivez ${(z - 2)}^{2}$ comme $(z - 2) (z - 2)$ .

$z = A ((z - 2) (z - 2)) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.7.3

Développez $(z - 2) (z - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.7.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$z = A (z (z - 2) - 2 (z - 2)) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.7.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$z = A (z \cdot z + z \cdot - 2 - 2 (z - 2)) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.7.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$z = A (z \cdot z + z \cdot - 2 - 2 z - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.7.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.7.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.7.4.1.1

Multipliez $z$ par $z$ .

$z = A (z^{2} + z \cdot - 2 - 2 z - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.7.4.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $z$ .

$z = A (z^{2} - 2 \cdot z - 2 z - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.7.4.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$z = A (z^{2} - 2 z - 2 z + 4) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.7.4.2

Soustrayez $2 z$ de $- 2 z$ .

$z = A (z^{2} - 4 z + 4) + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$z = A z^{2} + A (- 4 z) + A \cdot 4 + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.7.6

Simplifiez

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Étape 1.1.7.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$z = A z^{2} - 4 A z + A \cdot 4 + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.7.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $A$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 \cdot A + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.7.7

Annulez le facteur commun de ${(z - 2)}^{2}$ .

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Étape 1.1.7.7.1

Annulez le facteur commun.

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + \frac{(B) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.7.7.2

Divisez $(B) (z - 1)$ par $1$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + (B) (z - 1) + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.7.8

Appliquez la propriété distributive.

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z + B \cdot - 1 + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.7.9

Déplacez $- 1$ à gauche de $B$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - 1 \cdot B + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.7.10

Réécrivez $- 1 B$ comme $- B$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + \frac{(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}}{z - 2}$

Étape 1.1.7.11

Annulez le facteur commun à ${(z - 2)}^{2}$ et $z - 2$ .

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Étape 1.1.7.11.1

Factorisez $z - 2$ à partir de $(C) (z - 1) {(z - 2)}^{2}$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + \frac{(z - 2) ((C) (z - 1) (z - 2))}{z - 2}$

Étape 1.1.7.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.7.11.2.1

Multipliez par $1$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + \frac{(z - 2) ((C) (z - 1) (z - 2))}{(z - 2) \cdot 1}$

Étape 1.1.7.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + \frac{(z - 2) ((C) (z - 1) (z - 2))}{(z - 2) \cdot 1}$

Étape 1.1.7.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + \frac{(C) (z - 1) (z - 2)}{1}$

Étape 1.1.7.11.2.4

Divisez $(C) (z - 1) (z - 2)$ par $1$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + (C) (z - 1) (z - 2)$

Étape 1.1.7.12

Appliquez la propriété distributive.

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + (C z + C \cdot - 1) (z - 2)$

Étape 1.1.7.13

Déplacez $- 1$ à gauche de $C$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + (C z - 1 \cdot C) (z - 2)$

Étape 1.1.7.14

Réécrivez $- 1 C$ comme $- C$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + (C z - C) (z - 2)$

Étape 1.1.7.15

Développez $(C z - C) (z - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.7.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C z (z - 2) - C (z - 2)$

Étape 1.1.7.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C z \cdot z + C z \cdot - 2 - C (z - 2)$

Étape 1.1.7.15.3

Appliquez la propriété distributive.

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C z \cdot z + C z \cdot - 2 - C z - C \cdot - 2$

Étape 1.1.7.16

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.7.16.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.7.16.1.1

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.7.16.1.1.1

Déplacez $z$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C (z \cdot z) + C z \cdot - 2 - C z - C \cdot - 2$

Étape 1.1.7.16.1.1.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C z^{2} + C z \cdot - 2 - C z - C \cdot - 2$

Étape 1.1.7.16.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $C z$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C z^{2} - 2 \cdot (C z) - C z - C \cdot - 2$

Étape 1.1.7.16.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C z^{2} - 2 C z - C z + 2 C$

Étape 1.1.7.16.2

Soustrayez $C z$ de $- 2 C z$ .

$z = A z^{2} - 4 A z + 4 A + B z - B + C z^{2} - 3 C z + 2 C$

Étape 1.1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.8.1

Déplacez $A$ .

$z = A z^{2} - 4 z A + 4 A + B z - B + C z^{2} - 3 C z + 2 C$

Étape 1.1.8.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $z$ .

$z = A z^{2} - 4 z A + 4 A + B z - B + C z^{2} - 3 C z + 2 C$

Étape 1.1.8.3

Déplacez $- B$ .

$z = A z^{2} - 4 z A + 4 A + B z + C z^{2} - 3 C z - B + 2 C$

Étape 1.1.8.4

Déplacez $4 A$ .

$z = A z^{2} - 4 z A + B z + C z^{2} - 3 C z + 4 A - B + 2 C$

Étape 1.1.8.5

Déplacez $B z$ .

$z = A z^{2} - 4 z A + C z^{2} + B z - 3 C z + 4 A - B + 2 C$

Étape 1.1.8.6

Déplacez $- 4 z A$ .

$z = A z^{2} + C z^{2} - 4 z A + B z - 3 C z + 4 A - B + 2 C$

Étape 1.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

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Étape 1.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $z^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + C$

Étape 1.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $z$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = - 4 A + B - 3 C$

Étape 1.2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $z$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

Étape 1.2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + C$

$1 = - 4 A + B - 3 C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

$0 = A + C$

$1 = - 4 A + B - 3 C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

Étape 1.3

Résolvez le système d’équations.

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Étape 1.3.1

Résolvez $A$ dans $0 = A + C$ .

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + C = 0$ .

$A + C = 0$

$1 = - 4 A + B - 3 C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

Étape 1.3.1.2

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$A = - C$

$1 = - 4 A + B - 3 C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

$A = - C$

$1 = - 4 A + B - 3 C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

Étape 1.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- C$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $1 = - 4 A + B - 3 C$ par $- C$ .

$1 = - 4 (- C) + B - 3 C$

$A = - C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.2.1

Simplifiez $- 4 (- C) + B - 3 C$ .

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Étape 1.3.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$1 = 4 C + B - 3 C$

$A = - C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

Étape 1.3.2.2.1.2

Soustrayez $3 C$ de $4 C$ .

$1 = B + C$

$A = - C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

$0 = 4 A - 1 B + 2 C$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $0 = 4 A - 1 B + 2 C$ par $- C$ .

$0 = 4 (- C) - 1 B + 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

Étape 1.3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.2.4.1

Simplifiez $4 (- C) - 1 B + 2 C$ .

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Étape 1.3.2.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.4.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$0 = - 4 C - 1 B + 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

Étape 1.3.2.4.1.1.2

Réécrivez $- 1 B$ comme $- B$ .

$0 = - 4 C - B + 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

$0 = - 4 C - B + 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

Étape 1.3.2.4.1.2

Additionnez $- 4 C$ et $2 C$ .

$0 = - B - 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

$0 = - B - 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

$0 = - B - 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

$0 = - B - 2 C$

$1 = B + C$

$A = - C$

Étape 1.3.3

Résolvez $B$ dans $1 = B + C$ .

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Étape 1.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $B + C = 1$ .

$B + C = 1$

$0 = - B - 2 C$

$A = - C$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$B = 1 - C$

$0 = - B - 2 C$

$A = - C$

$B = 1 - C$

$0 = - B - 2 C$

$A = - C$

Étape 1.3.4

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $1 - C$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $0 = - B - 2 C$ par $1 - C$ .

$0 = - (1 - C) - 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Étape 1.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.4.2.1

Simplifiez $- (1 - C) - 2 C$ .

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Étape 1.3.4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 = - 1 \cdot 1 + C - 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Étape 1.3.4.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 = - 1 + C - 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Étape 1.3.4.2.1.1.3

Multipliez $- - C$ .

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Étape 1.3.4.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 C - 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Étape 1.3.4.2.1.1.3.2

Multipliez $C$ par $1$ .

$0 = - 1 + C - 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$0 = - 1 + C - 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$0 = - 1 + C - 2 C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Étape 1.3.4.2.1.2

Soustrayez $2 C$ de $C$ .

$0 = - 1 - C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$0 = - 1 - C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$0 = - 1 - C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$0 = - 1 - C$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Étape 1.3.5

Résolvez $C$ dans $0 = - 1 - C$ .

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Étape 1.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 1 - C = 0$ .

$- 1 - C = 0$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Étape 1.3.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- C = 1$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Étape 1.3.5.3

Divisez chaque terme dans $- C = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $- C = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- C}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Étape 1.3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.5.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{C}{1} = \frac{1}{- 1}$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Étape 1.3.5.3.2.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{1}{- 1}$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$C = \frac{1}{- 1}$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Étape 1.3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.5.3.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$C = - 1$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$C = - 1$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$C = - 1$

$B = 1 - C$

$A = - C$

$C = - 1$

$B = 1 - C$

$A = - C$

Étape 1.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $- 1$ dans chaque équation.

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Étape 1.3.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $B = 1 - C$ par $- 1$ .

$B = 1 - (- 1)$

$C = - 1$

$A = - C$

Étape 1.3.6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.2.1

Simplifiez $1 - (- 1)$ .

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Étape 1.3.6.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$B = 1 + 1$

$C = - 1$

$A = - C$

Étape 1.3.6.2.1.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$B = 2$

$C = - 1$

$A = - C$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = - C$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = - C$

Étape 1.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $A = - C$ par $- 1$ .

$A = - (- 1)$

$B = 2$

$C = - 1$

Étape 1.3.6.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A = 1$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = 1$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = 1$

$B = 2$

$C = - 1$

Étape 1.3.7

Indiquez toutes les solutions.

$A = 1, B = 2, C = - 1$

Étape 1.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{z - 1} + \frac{B}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{C}{z - 2}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$\frac{1}{z - 1} + \frac{2}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{- 1}{z - 2}$

Étape 1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{z - 1} + \frac{2}{{(z - 2)}^{2}} - \frac{1}{z - 2} d z$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{z - 1} d z + \int \frac{2}{{(z - 2)}^{2}} d z + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

Étape 3

Laissez $u_{1} = z - 1$ . Puis $d u_{1} = d z$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{1} = z - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d z}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $z - 1$ .

$\frac{d}{d z} [z - 1]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $z - 1$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]$ .

$\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d z} [- 1]$

Étape 3.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $z$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{{(z - 2)}^{2}} d z + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int \frac{2}{{(z - 2)}^{2}} d z + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $z$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 \int \frac{1}{{(z - 2)}^{2}} d z + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

Étape 6

Laissez $u_{2} = z - 2$ . Puis $d u_{2} = d z$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = z - 2$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d z}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $z - 2$ .

$\frac{d}{d z} [z - 2]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $z - 2$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 2]$ .

$\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 2]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d z} [- 2]$

Étape 6.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $z$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 6.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2} + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

Étape 7

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.1

Retirez ${u_{2}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2} + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

Étape 7.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 7.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2} + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

Étape 7.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2} + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- 2}$ par rapport à $u_{2}$ est $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C) + \int - \frac{1}{z - 2} d z$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $z$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - \int \frac{1}{z - 2} d z$

Étape 10

Laissez $u_{3} = z - 2$ . Puis $d u_{3} = d z$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 10.1

Laissez $u_{3} = z - 2$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d z}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $z - 2$ .

$\frac{d}{d z} [z - 2]$

Étape 10.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $z - 2$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 2]$ .

$\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 2]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d z} [- 2]$

Étape 10.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $z$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 10.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Étape 11

L’intégrale de $\frac{1}{u_{3}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C) - (\ln (| u_{3} |) + C)$

Étape 12

Simplifiez

$\ln (| u_{1} |) - \frac{2}{u_{2}} - \ln (| u_{3} |) + C$

Étape 13

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{2}{u_{2}} + \ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{3} |}) + C$

Étape 14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $z - 2$ .

$- \frac{2}{z - 2} + \ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{3} |}) + C$

Étape 14.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $z - 1$ .

$- \frac{2}{z - 2} + \ln (\frac{| z - 1 |}{| u_{3} |}) + C$

Étape 14.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $z - 2$ .

$- \frac{2}{z - 2} + \ln (\frac{| z - 1 |}{| z - 2 |}) + C$