Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - 135 x - 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{\frac{5}{2}} - 135 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.7

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.8

Associez $2$ et $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.9

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.10

Factorisez $2$ à partir de $10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.11.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.11.4

Divisez $5 x^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 135 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 135$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 135 x$ par rapport à $x$ est $- 135 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 135$ par $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $5 x^{\frac{3}{2}} - 135$ et $0$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{\frac{3}{2}} - 135$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 135]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 135)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 135)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 135)$

Étape 2.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 135)$

Étape 2.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 135)$

Étape 2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 135)$

Étape 2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 135)$

Étape 2.2.6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 135)$

Étape 2.2.7

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- 135)$

Étape 2.2.8

Associez $5$ et $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} (- 135)$

Étape 2.2.9

Multipliez $3$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (- 135)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 135$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 135$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $\frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{\frac{5}{2}} - 135 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.2.7

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.2.8

Associez $2$ et $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.2.10

Factorisez $2$ à partir de $10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.2.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.11.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.2.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.2.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.2.11.4

Divisez $5 x^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- 135 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 135 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 135$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 135 x$ par rapport à $x$ est $- 135 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 135$ par $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $5 x^{\frac{3}{2}} - 135$ et $0$ .

$f' (x) = 5 x^{\frac{3}{2}} - 135$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $5 x^{\frac{3}{2}} - 135$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $5 x^{\frac{3}{2}} - 135 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 135 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $135$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x^{\frac{3}{2}} = 135$

Étape 5.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{2}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(5 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 135^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1

Simplifiez ${(5 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 5.4.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$5^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 135^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 5.4.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 135^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$5^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 135^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$5^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 135^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$5^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 135^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$5^{\frac{2}{3}} x^{1} = 135^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.1.3

Simplifiez

$5^{\frac{2}{3}} x = 135^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.4.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $5^{\frac{2}{3}} x$ .

$x \cdot 5^{\frac{2}{3}} = 135^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $x \cdot 5^{\frac{2}{3}} = 135^{\frac{2}{3}}$ par $5^{\frac{2}{3}}$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $x \cdot 5^{\frac{2}{3}} = 135^{\frac{2}{3}}$ par $5^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} = \frac{135^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} = \frac{135^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{135^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Utilisez la règle de la puissance d’un quotient $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$x = {(\frac{135}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.5.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.3.2.1

Divisez $135$ par $5$ .

$x = 27^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.5.3.2.2

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$x = {(3^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 5.5.3.2.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 3^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 5.5.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$x = 3^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 5.5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$x = 3^{2}$

Étape 5.5.3.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = 9$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$5 \sqrt{x^{3}} - 135$

Étape 6.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{3}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} < 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Étape 6.3.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < 0$

Étape 6.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 9$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 9$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{15 {(9)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{15 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Étape 9.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{15 \cdot 3^{1}}{2}$

Étape 9.1.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{15 \cdot 3}{2}$

Étape 9.2

Multipliez $15$ par $3$ .

$\frac{45}{2}$

Étape 10

$x = 9$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 9$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 9$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $9$ dans l’expression.

$f (9) = 2 {(9)}^{\frac{5}{2}} - 135 \cdot 9 - 1$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (9) = 2 {(3^{2})}^{\frac{5}{2}} - 135 \cdot 9 - 1$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (9) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - 135 \cdot 9 - 1$

Étape 11.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (9) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - 135 \cdot 9 - 1$

Étape 11.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (9) = 2 \cdot 3^{5} - 135 \cdot 9 - 1$

Étape 11.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$f (9) = 2 \cdot 243 - 135 \cdot 9 - 1$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $2$ par $243$ .

$f (9) = 486 - 135 \cdot 9 - 1$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $- 135$ par $9$ .

$f (9) = 486 - 1215 - 1$

Étape 11.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Soustrayez $1215$ de $486$ .

$f (9) = - 729 - 1$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 729$ .

$f (9) = - 730$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 730$ .

$y = - 730$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - 135 x - 1$ .

$(9, - 730)$ est un minimum local

Étape 13