Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.7

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.8

Associez $2$ et $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.9

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.10

Factorisez $2$ à partir de $10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.11.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.11.4

Divisez $5 x^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - (2 x)$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Étape 2.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 2.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Étape 2.3.6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.3.7

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.3.8

Associez $5$ et $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{5 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 2.3.9

Multipliez $3$ par $5$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.7

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.8

Associez $2$ et $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.10

Factorisez $2$ à partir de $10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.11.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.11.4

Divisez $5 x^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - (2 x)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x$

Étape 4.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $- x$ à partir de $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $- x$ à partir de $- 2 x$ .

$- x \cdot 2 + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $- x$ à partir de $5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- x \cdot 2 - x (- 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x (2) - x (- 5 x^{\frac{1}{2}})$ .

$- x (2 - 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $2 - 5 x^{\frac{1}{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $2 - 5 x^{\frac{1}{2}}$ égal à $0$ .

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Étape 5.5.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.5.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.3.1.1

Simplifiez ${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.5.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 5)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 5.5.2.3.1.1.2

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 5.5.2.3.1.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.5.2.3.1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 5.5.2.3.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.2.3.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Étape 5.5.2.3.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$25 x^{1} = {(- 2)}^{2}$

Étape 5.5.2.3.1.1.4

Simplifiez

$25 x = {(- 2)}^{2}$

Étape 5.5.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.3.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$25 x = 4$

Étape 5.5.2.4

Divisez chaque terme dans $25 x = 4$ par $25$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.4.1

Divisez chaque terme dans $25 x = 4$ par $25$ .

$\frac{25 x}{25} = \frac{4}{25}$

Étape 5.5.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $25$ .

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Étape 5.5.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25 x}{25} = \frac{4}{25}$

Étape 5.5.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{25}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x (2 - 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{4}{25}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- 2 x + 5 \sqrt{x^{3}}$

Étape 6.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{3}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} < 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Étape 6.3.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < 0$

Étape 6.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, \frac{4}{25}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 + \frac{15 {(0)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 9.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Étape 9.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Étape 9.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{1}}{2}$

Étape 9.1.1.4

Évaluez l’exposant.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0}{2}$

Étape 9.1.2

Multipliez $15$ par $0$ .

$- 2 + \frac{0}{2}$

Étape 9.1.3

Divisez $0$ par $2$ .

$- 2 + 0$

Étape 9.2

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$- 2$

Étape 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 2 {(0)}^{\frac{5}{2}} - {(0)}^{2}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (0) = 2 {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} - {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (0) = 2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (0) = 2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (0) = 2 \cdot 0^{5} - {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{2}$

Étape 11.2.1.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Étape 11.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 11.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{4}{25}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 + \frac{15 {(\frac{4}{25})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{25}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{4^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Étape 13.1.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Étape 13.1.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Étape 13.1.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Étape 13.1.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{1}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Étape 13.1.1.2.4

Évaluez l’exposant.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Étape 13.1.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.1.1.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2}$

Étape 13.1.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}{2}$

Étape 13.1.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}{2}$

Étape 13.1.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{1}}}{2}$

Étape 13.1.1.3.4

Évaluez l’exposant.

$- 2 + \frac{15 (\frac{2}{5})}{2}$

Étape 13.1.2

Associez $15$ et $\frac{2}{5}$ .

$- 2 + \frac{\frac{15 \cdot 2}{5}}{2}$

Étape 13.1.3

Multipliez $15$ par $2$ .

$- 2 + \frac{\frac{30}{5}}{2}$

Étape 13.1.4

Divisez $30$ par $5$ .

$- 2 + \frac{6}{2}$

Étape 13.1.5

Divisez $6$ par $2$ .

$- 2 + 3$

Étape 13.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$1$

Étape 14

$x = \frac{4}{25}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{4}{25}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{4}{25}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{4}{25}$ dans l’expression.

$f (\frac{4}{25}) = 2 {(\frac{4}{25})}^{\frac{5}{2}} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{25}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{4^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Étape 15.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.1.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{{(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Étape 15.2.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Étape 15.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Étape 15.2.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{5}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Étape 15.2.1.2.4

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Étape 15.2.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.2.1.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{{(5^{2})}^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Étape 15.2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{2 (\frac{5}{2})}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Étape 15.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{2 (\frac{5}{2})}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Étape 15.2.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{5}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Étape 15.2.1.3.4

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{3125}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $2 (\frac{32}{3125})$ .

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Étape 15.2.1.4.1

Associez $2$ et $\frac{32}{3125}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{2 \cdot 32}{3125} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Étape 15.2.1.4.2

Multipliez $2$ par $32$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

Étape 15.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{25}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{4^{2}}{25^{2}}$

Étape 15.2.1.6

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{25^{2}}$

Étape 15.2.1.7

Élevez $25$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{625}$

Étape 15.2.2

Pour écrire $- \frac{16}{625}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{625} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 15.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3125$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 15.2.3.1

Multipliez $\frac{16}{625}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16 \cdot 5}{625 \cdot 5}$

Étape 15.2.3.2

Multipliez $625$ par $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16 \cdot 5}{3125}$

Étape 15.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64 - 16 \cdot 5}{3125}$

Étape 15.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.5.1

Multipliez $- 16$ par $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64 - 80}{3125}$

Étape 15.2.5.2

Soustrayez $80$ de $64$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{- 16}{3125}$

Étape 15.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{4}{25}) = - \frac{16}{3125}$

Étape 15.2.7

La réponse finale est $- \frac{16}{3125}$ .

$y = - \frac{16}{3125}$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ .

$(0, 0)$ est un maximum local

$(\frac{4}{25}, - \frac{16}{3125})$ est un minimum local

Étape 17