Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x^{7} + 19$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 3 x^{7} + 19$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{7}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{7}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$4 x + 3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$4 x + 3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 1.3.3

Multipliez $7$ par $3$ .

$4 x + 21 x^{6} + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 1.4

Comme $19$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $19$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 21 x^{6} + 0$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $4 x + 21 x^{6}$ et $0$ .

$4 x + 21 x^{6}$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$21 x^{6} + 4 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $21 x^{6} + 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [21 x^{6}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (21 x^{6}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [21 x^{6}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $21$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $21 x^{6}$ par rapport à $x$ est $21 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f'' (x) = 21 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$f'' (x) = 21 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $6$ par $21$ .

$f'' (x) = 126 x^{5} + \frac{d}{d x} (4 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 126 x^{5} + 4 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 126 x^{5} + 4 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = 126 x^{5} + 4$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$21 x^{6} + 4 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 3 x^{7} + 19$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{7}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{7}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$4 x + 3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$4 x + 3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $7$ par $3$ .

$4 x + 21 x^{6} + \frac{d}{d x} [19]$

Étape 4.1.4

Comme $19$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $19$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 21 x^{6} + 0$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Additionnez $4 x + 21 x^{6}$ et $0$ .

$4 x + 21 x^{6}$

Étape 4.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 21 x^{6} + 4 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $21 x^{6} + 4 x$ .

$21 x^{6} + 4 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $21 x^{6} + 4 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$21 x^{6} + 4 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez $x$ à partir de $21 x^{6} + 4 x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $21 x^{6}$ .

$x (21 x^{5}) + 4 x = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$x (21 x^{5}) + x \cdot 4 = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (21 x^{5}) + x \cdot 4$ .

$x (21 x^{5} + 4) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$21 x^{5} + 4 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $21 x^{5} + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $21 x^{5} + 4$ égal à $0$ .

$21 x^{5} + 4 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $21 x^{5} + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$21 x^{5} = - 4$

Étape 5.5.2.2

Divisez chaque terme dans $21 x^{5} = - 4$ par $21$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $21 x^{5} = - 4$ par $21$ .

$\frac{21 x^{5}}{21} = \frac{- 4}{21}$

Étape 5.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $21$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{21 x^{5}}{21} = \frac{- 4}{21}$

Étape 5.5.2.2.2.1.2

Divisez $x^{5}$ par $1$ .

$x^{5} = \frac{- 4}{21}$

Étape 5.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{5} = - \frac{4}{21}$

Étape 5.5.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[5]{- \frac{4}{21}}$

Étape 5.5.2.4

Simplifiez $\sqrt[5]{- \frac{4}{21}}$ .

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Étape 5.5.2.4.1

Réécrivez $- \frac{4}{21}$ comme ${({(- 1)}^{5})}^{5} \frac{4}{21}$ .

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Étape 5.5.2.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{{(- 1)}^{5} \frac{4}{21}}$

Étape 5.5.2.4.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{{({(- 1)}^{5})}^{5} \frac{4}{21}}$

Étape 5.5.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = {(- 1)}^{5} \sqrt[5]{\frac{4}{21}}$

Étape 5.5.2.4.3

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$x = - \sqrt[5]{\frac{4}{21}}$

Étape 5.5.2.4.4

Réécrivez $\sqrt[5]{\frac{4}{21}}$ comme $\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{21}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{21}}$

Étape 5.5.2.4.5

Multipliez $\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{21}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{21}}^{4}}{{\sqrt[5]{21}}^{4}}$ .

$x = - (\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{21}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{21}}^{4}}{{\sqrt[5]{21}}^{4}})$

Étape 5.5.2.4.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.2.4.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{21}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{21}}^{4}}{{\sqrt[5]{21}}^{4}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{\sqrt[5]{21} {\sqrt[5]{21}}^{4}}$

Étape 5.5.2.4.6.2

Élevez $\sqrt[5]{21}$ à la puissance $1$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{{\sqrt[5]{21}}^{1} {\sqrt[5]{21}}^{4}}$

Étape 5.5.2.4.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{{\sqrt[5]{21}}^{1 + 4}}$

Étape 5.5.2.4.6.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{{\sqrt[5]{21}}^{5}}$

Étape 5.5.2.4.6.5

Réécrivez ${\sqrt[5]{21}}^{5}$ comme $21$ .

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Étape 5.5.2.4.6.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{21}$ comme $21^{\frac{1}{5}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{{(21^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Étape 5.5.2.4.6.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{21^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Étape 5.5.2.4.6.5.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{21^{\frac{5}{5}}}$

Étape 5.5.2.4.6.5.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.5.2.4.6.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{21^{\frac{5}{5}}}$

Étape 5.5.2.4.6.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{21^{1}}$

Étape 5.5.2.4.6.5.5

Évaluez l’exposant.

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{21}}^{4}}{21}$

Étape 5.5.2.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.2.4.7.1

Réécrivez ${\sqrt[5]{21}}^{4}$ comme $\sqrt[5]{21^{4}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} \sqrt[5]{21^{4}}}{21}$

Étape 5.5.2.4.7.2

Élevez $21$ à la puissance $4$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{4} \sqrt[5]{194481}}{21}$

Étape 5.5.2.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.2.4.8.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = - \frac{\sqrt[5]{4 \cdot 194481}}{21}$

Étape 5.5.2.4.8.2

Multipliez $4$ par $194481$ .

$x = - \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (21 x^{5} + 4) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$126 {(0)}^{5} + 4$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$126 \cdot 0 + 4$

Étape 9.1.2

Multipliez $126$ par $0$ .

$0 + 4$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$4$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 2 {(0)}^{2} + 3 {(0)}^{7} + 19$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 + 3 {(0)}^{7} + 19$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 3 {(0)}^{7} + 19$

Étape 11.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 3 \cdot 0 + 19$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 19$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 19$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $0$ et $19$ .

$f (0) = 19$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $19$ .

$y = 19$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$126 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{5} + 4$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 13.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

$126 ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{5}) + 4$

Étape 13.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

$126 ({(- 1)}^{5} \frac{{\sqrt[5]{777924}}^{5}}{21^{5}}) + 4$

Étape 13.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$126 (- \frac{{\sqrt[5]{777924}}^{5}}{21^{5}}) + 4$

Étape 13.1.3

Réécrivez ${\sqrt[5]{777924}}^{5}$ comme $777924$ .

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Étape 13.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{777924}$ comme $777924^{\frac{1}{5}}$ .

$126 (- \frac{{(777924^{\frac{1}{5}})}^{5}}{21^{5}}) + 4$

Étape 13.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$126 (- \frac{777924^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{21^{5}}) + 4$

Étape 13.1.3.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$126 (- \frac{777924^{\frac{5}{5}}}{21^{5}}) + 4$

Étape 13.1.3.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 13.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$126 (- \frac{777924^{\frac{5}{5}}}{21^{5}}) + 4$

Étape 13.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$126 (- \frac{777924^{1}}{21^{5}}) + 4$

Étape 13.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$126 (- \frac{777924}{21^{5}}) + 4$

Étape 13.1.4

Élevez $21$ à la puissance $5$ .

$126 (- \frac{777924}{4084101}) + 4$

Étape 13.1.5

Annulez le facteur commun de $63$ .

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Étape 13.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{777924}{4084101}$ dans le numérateur.

$126 (\frac{- 777924}{4084101}) + 4$

Étape 13.1.5.2

Factorisez $63$ à partir de $126$ .

$63 (2) \frac{- 777924}{4084101} + 4$

Étape 13.1.5.3

Factorisez $63$ à partir de $4084101$ .

$63 \cdot 2 \frac{- 777924}{63 \cdot 64827} + 4$

Étape 13.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$63 \cdot 2 \frac{- 777924}{63 \cdot 64827} + 4$

Étape 13.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{- 777924}{64827}) + 4$

Étape 13.1.6

Associez $2$ et $\frac{- 777924}{64827}$ .

$\frac{2 \cdot - 777924}{64827} + 4$

Étape 13.1.7

Multipliez $2$ par $- 777924$ .

$\frac{- 1555848}{64827} + 4$

Étape 13.1.8

Divisez $- 1555848$ par $64827$ .

$- 24 + 4$

Étape 13.2

Additionnez $- 24$ et $4$ .

$- 20$

Étape 14

$x = - \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{2} + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{2}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Étape 15.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt[5]{777924}}^{2}}{21^{2}})) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Étape 15.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (1 (\frac{{\sqrt[5]{777924}}^{2}}{21^{2}})) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $\frac{{\sqrt[5]{777924}}^{2}}{21^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{{\sqrt[5]{777924}}^{2}}{21^{2}}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Étape 15.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.1.4.1

Réécrivez ${\sqrt[5]{777924}}^{2}$ comme $\sqrt[5]{777924^{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{\sqrt[5]{777924^{2}}}{21^{2}}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Étape 15.2.1.4.2

Élevez $777924$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{\sqrt[5]{605165749776}}{21^{2}}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Étape 15.2.1.4.3

Réécrivez $605165749776$ comme $21^{5} \cdot 148176$ .

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Étape 15.2.1.4.3.1

Factorisez $4084101$ à partir de $605165749776$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{\sqrt[5]{4084101 (148176)}}{21^{2}}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Étape 15.2.1.4.3.2

Réécrivez $4084101$ comme $21^{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{\sqrt[5]{21^{5} \cdot 148176}}{21^{2}}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Étape 15.2.1.4.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{21 \sqrt[5]{148176}}{21^{2}}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Étape 15.2.1.5

Élevez $21$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{21 \sqrt[5]{148176}}{441}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Étape 15.2.1.6

Annulez le facteur commun à $21$ et $441$ .

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Étape 15.2.1.6.1

Factorisez $21$ à partir de $21 \sqrt[5]{148176}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{21 (\sqrt[5]{148176})}{441}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Étape 15.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.6.2.1

Factorisez $21$ à partir de $441$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{21 \sqrt[5]{148176}}{21 \cdot 21}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Étape 15.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{21 \sqrt[5]{148176}}{21 \cdot 21}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Étape 15.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = 2 (\frac{\sqrt[5]{148176}}{21}) + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Étape 15.2.1.7

Associez $2$ et $\frac{\sqrt[5]{148176}}{21}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 {(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7} + 19$

Étape 15.2.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 ({(- 1)}^{7} {(\frac{\sqrt[5]{777924}}{21})}^{7}) + 19$

Étape 15.2.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[5]{777924}}{21}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 ({(- 1)}^{7} (\frac{{\sqrt[5]{777924}}^{7}}{21^{7}})) + 19$

Étape 15.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $7$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{{\sqrt[5]{777924}}^{7}}{21^{7}}) + 19$

Étape 15.2.1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.1.10.1

Réécrivez ${\sqrt[5]{777924}}^{7}$ comme $\sqrt[5]{777924^{7}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{\sqrt[5]{777924^{7}}}{21^{7}}) + 19$

Étape 15.2.1.10.2

Factorisez $777924^{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{\sqrt[5]{777924^{5} \cdot 777924^{2}}}{21^{7}}) + 19$

Étape 15.2.1.10.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{777924 \sqrt[5]{777924^{2}}}{21^{7}}) + 19$

Étape 15.2.1.10.4

Élevez $777924$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{777924 \sqrt[5]{605165749776}}{21^{7}}) + 19$

Étape 15.2.1.10.5

Réécrivez $605165749776$ comme $21^{5} \cdot 148176$ .

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Étape 15.2.1.10.5.1

Factorisez $4084101$ à partir de $605165749776$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{777924 \sqrt[5]{4084101 (148176)}}{21^{7}}) + 19$

Étape 15.2.1.10.5.2

Réécrivez $4084101$ comme $21^{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{777924 \sqrt[5]{21^{5} \cdot 148176}}{21^{7}}) + 19$

Étape 15.2.1.10.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{777924 (21 \sqrt[5]{148176})}{21^{7}}) + 19$

Étape 15.2.1.10.7

Multipliez $21$ par $777924$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{16336404 \sqrt[5]{148176}}{21^{7}}) + 19$

Étape 15.2.1.11

Élevez $21$ à la puissance $7$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (- \frac{16336404 \sqrt[5]{148176}}{1801088541}) + 19$

Étape 15.2.1.12

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.2.1.12.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{16336404 \sqrt[5]{148176}}{1801088541}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (\frac{- 16336404 \sqrt[5]{148176}}{1801088541}) + 19$

Étape 15.2.1.12.2

Factorisez $3$ à partir de $1801088541$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (\frac{- 16336404 \sqrt[5]{148176}}{3 (600362847)}) + 19$

Étape 15.2.1.12.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + 3 (\frac{- 16336404 \sqrt[5]{148176}}{3 \cdot 600362847}) + 19$

Étape 15.2.1.12.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + \frac{- 16336404 \sqrt[5]{148176}}{600362847} + 19$

Étape 15.2.1.13

Annulez le facteur commun à $- 16336404$ et $600362847$ .

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Étape 15.2.1.13.1

Factorisez $4084101$ à partir de $- 16336404 \sqrt[5]{148176}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + \frac{4084101 (- 4 \sqrt[5]{148176})}{600362847} + 19$

Étape 15.2.1.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.13.2.1

Factorisez $4084101$ à partir de $600362847$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + \frac{4084101 (- 4 \sqrt[5]{148176})}{4084101 (147)} + 19$

Étape 15.2.1.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + \frac{4084101 (- 4 \sqrt[5]{148176})}{4084101 \cdot 147} + 19$

Étape 15.2.1.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} + \frac{- 4 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Étape 15.2.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} - \frac{4 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Étape 15.2.2

Pour écrire $\frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21} \cdot \frac{7}{7} - \frac{4 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Étape 15.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $147$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 15.2.3.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt[5]{148176}}{21}$ par $\frac{7}{7}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176} \cdot 7}{21 \cdot 7} - \frac{4 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Étape 15.2.3.2

Multipliez $21$ par $7$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176} \cdot 7}{147} - \frac{4 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Étape 15.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{2 \sqrt[5]{148176} \cdot 7 - 4 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Étape 15.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.5.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{14 \sqrt[5]{148176} - 4 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Étape 15.2.5.2

Soustrayez $4 \sqrt[5]{148176}$ de $14 \sqrt[5]{148176}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}) = \frac{10 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $\frac{10 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$ .

$y = \frac{10 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 x^{2} + 3 x^{7} + 19$ .

$(0, 19)$ est un minimum local

$(- \frac{\sqrt[5]{777924}}{21}, \frac{10 \sqrt[5]{148176}}{147} + 19)$ est un maximum local

Étape 17