Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2.44 x - \frac{x^{2}}{20000} - 5000$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2.44 x - \frac{x^{2}}{20000} - 5000$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2.44 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{20000}] + \frac{d}{d x} [- 5000]$ .

$\frac{d}{d x} [2.44 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{20000}] + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2.44 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2.44$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2.44 x$ par rapport à $x$ est $2.44 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2.44 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{20000}] + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2.44 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{20000}] + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2.44$ par $1$ .

$2.44 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{20000}] + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{20000}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- \frac{1}{20000}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{20000}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{20000} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2.44 - \frac{1}{20000} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2.44 - \frac{1}{20000} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2.44 - 2 (\frac{1}{20000}) x + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 1.3.4

Associez $- 2$ et $\frac{1}{20000}$ .

$2.44 + \frac{- 2}{20000} x + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 1.3.5

Associez $\frac{- 2}{20000}$ et $x$ .

$2.44 + \frac{- 2 x}{20000} + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 1.3.6

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $20000$ .

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Étape 1.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$2.44 + \frac{2 (- x)}{20000} + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $20000$ .

$2.44 + \frac{2 (- x)}{2 (10000)} + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$2.44 + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 10000} + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$2.44 + \frac{- x}{10000} + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$2.44 - \frac{x}{10000} + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 1.4

Comme $- 5000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5000$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2.44 - \frac{x}{10000} + 0$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $2.44 - \frac{x}{10000}$ et $0$ .

$2.44 - \frac{x}{10000}$

Étape 1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{x}{10000} + 2.44$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{x}{10000} + 2.44$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{10000}] + \frac{d}{d x} [2.44]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x}{10000}) + \frac{d}{d x} (2.44)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{10000}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- \frac{1}{10000}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{10000}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{10000} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{10000} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2.44)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{10000} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2.44)$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{10000} + \frac{d}{d x} (2.44)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $2.44$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2.44$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{10000} + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- \frac{1}{10000}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{10000}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{x}{10000} + 2.44 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2.44 x - \frac{x^{2}}{20000} - 5000$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2.44 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{20000}] + \frac{d}{d x} [- 5000]$ .

$\frac{d}{d x} [2.44 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{20000}] + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2.44 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $2.44$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2.44 x$ par rapport à $x$ est $2.44 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2.44 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{20000}] + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2.44 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{20000}] + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2.44$ par $1$ .

$2.44 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{20000}] + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{20000}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- \frac{1}{20000}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{20000}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{20000} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2.44 - \frac{1}{20000} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2.44 - \frac{1}{20000} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2.44 - 2 (\frac{1}{20000}) x + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 4.1.3.4

Associez $- 2$ et $\frac{1}{20000}$ .

$2.44 + \frac{- 2}{20000} x + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 4.1.3.5

Associez $\frac{- 2}{20000}$ et $x$ .

$2.44 + \frac{- 2 x}{20000} + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 4.1.3.6

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $20000$ .

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Étape 4.1.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$2.44 + \frac{2 (- x)}{20000} + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 4.1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $20000$ .

$2.44 + \frac{2 (- x)}{2 (10000)} + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 4.1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$2.44 + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 10000} + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 4.1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$2.44 + \frac{- x}{10000} + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 4.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$2.44 - \frac{x}{10000} + \frac{d}{d x} [- 5000]$

Étape 4.1.4

Comme $- 5000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5000$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2.44 - \frac{x}{10000} + 0$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Additionnez $2.44 - \frac{x}{10000}$ et $0$ .

$2.44 - \frac{x}{10000}$

Étape 4.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{x}{10000} + 2.44$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x}{10000} + 2.44$ .

$- \frac{x}{10000} + 2.44$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x}{10000} + 2.44 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x}{10000} + 2.44 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $2.44$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{x}{10000} = - 2.44$

Étape 5.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 10000$ .

$- 10000 (- \frac{x}{10000}) = - 10000 \cdot - 2.44$

Étape 5.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1.1

Simplifiez $- 10000 (- \frac{x}{10000})$ .

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Étape 5.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $10000$ .

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Étape 5.4.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{10000}$ dans le numérateur.

$- 10000 \frac{- x}{10000} = - 10000 \cdot - 2.44$

Étape 5.4.1.1.1.2

Factorisez $10000$ à partir de $- 10000$ .

$10000 (- 1) \frac{- x}{10000} = - 10000 \cdot - 2.44$

Étape 5.4.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$10000 \cdot - 1 \frac{- x}{10000} = - 10000 \cdot - 2.44$

Étape 5.4.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - x = - 10000 \cdot - 2.44$

Étape 5.4.1.1.2

Multipliez.

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Étape 5.4.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x = - 10000 \cdot - 2.44$

Étape 5.4.1.1.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = - 10000 \cdot - 2.44$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Multipliez $- 10000$ par $- 2.44$ .

$x = 24400$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 24400$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 24400$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{1}{10000}$

Étape 9

$x = 24400$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 24400$ est un maximum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = 24400$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $24400$ dans l’expression.

$f (24400) = 2.44 (24400) - \frac{{(24400)}^{2}}{20000} - 5000$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Multipliez $2.44$ par $24400$ .

$f (24400) = 59536 - \frac{{(24400)}^{2}}{20000} - 5000$

Étape 10.2.1.2

Élevez $24400$ à la puissance $2$ .

$f (24400) = 59536 - \frac{595360000}{20000} - 5000$

Étape 10.2.1.3

Divisez $595360000$ par $20000$ .

$f (24400) = 59536 - 1 \cdot 29768 - 5000$

Étape 10.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $29768$ .

$f (24400) = 59536 - 29768 - 5000$

Étape 10.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 10.2.2.1

Soustrayez $29768$ de $59536$ .

$f (24400) = 29768 - 5000$

Étape 10.2.2.2

Soustrayez $5000$ de $29768$ .

$f (24400) = 24768$

Étape 10.2.3

La réponse finale est $24768$ .

$y = 24768$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2.44 x - \frac{x^{2}}{20000} - 5000$ .

$(24400, 24768)$ est un maximum local

Étape 12