Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 (x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 (x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [(x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = 15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1$ .

$2 ((x - 1) \frac{d}{d x} [15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1] + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [15 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 ((x - 1) (\frac{d}{d x} [15 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.3.2

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{3}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 ((x - 1) (15 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 ((x - 1) (15 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.3.4

Multipliez $3$ par $15$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.3.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.3.7

Multipliez $2$ par $5$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.3.8

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.3.10

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.3.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 + 0) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.3.12

Additionnez $45 x^{2} + 10 x - 7$ et $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 1.3.13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Étape 1.3.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Étape 1.3.15

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (1 + 0))$

Étape 1.3.16

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.16.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \cdot 1)$

Étape 1.3.16.2

Multipliez $15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1$ par $1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + 15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7)) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 ((x - 1) (45 x^{2}) + (x - 1) (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + (x - 1) (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + x (10 x) - 1 (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + x (10 x) - 1 (10 x) + x \cdot - 7 - 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.6

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (45 x^{2})) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7

Associez des termes.

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Étape 1.4.7.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (45 (x^{1} x^{2})) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (45 x^{1 + 2}) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 (45 x^{3}) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.4

Multipliez $45$ par $2$ .

$90 x^{3} + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.5

Multipliez $45$ par $- 1$ .

$90 x^{3} + 2 (- 45 x^{2}) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.6

Multipliez $- 45$ par $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 (x^{1} x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 (x^{1} x^{1})) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 x^{1 + 1}) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 x^{2}) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.11

Multipliez $10$ par $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.12

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} + 2 (- 10 x) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.13

Multipliez $- 10$ par $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} - 20 x + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.14

Additionnez $- 90 x^{2}$ et $20 x^{2}$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.15

Déplacez $- 7$ à gauche de $x$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x + 2 (- 7 \cdot x) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.16

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.17

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 2 \cdot 7 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.18

Multipliez $2$ par $7$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 14 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.19

Soustrayez $14 x$ de $- 20 x$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.20

Multipliez $15$ par $2$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 30 x^{3} + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.21

Additionnez $90 x^{3}$ et $30 x^{3}$ .

$120 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.22

Multipliez $5$ par $2$ .

$120 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 10 x^{2} + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.23

Additionnez $- 70 x^{2}$ et $10 x^{2}$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.24

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 34 x + 14 - 14 x + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.25

Soustrayez $14 x$ de $- 34 x$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 14 + 2 \cdot - 1$

Étape 1.4.7.26

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 14 - 2$

Étape 1.4.7.27

Soustrayez $2$ de $14$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [120 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (120 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [120 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $120 x^{3}$ par rapport à $x$ est $120 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 120 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 120 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $120$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 60 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 60 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 60$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 48 x$ par rapport à $x$ est $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x - 48 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 48$ par $1$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x - 48 + \frac{d}{d x} (12)$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.5.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x - 48 + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $360 x^{2} - 120 x - 48$ et $0$ .

$f'' (x) = 360 x^{2} - 120 x - 48$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 (x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [(x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)]$

Étape 4.1.2

$2 ((x - 1) \frac{d}{d x} [15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1] + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [15 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 ((x - 1) (\frac{d}{d x} [15 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 4.1.3.2

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{3}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 ((x - 1) (15 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 ((x - 1) (15 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 4.1.3.4

Multipliez $3$ par $15$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 4.1.3.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 4.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 4.1.3.7

Multipliez $2$ par $5$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 4.1.3.8

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 4.1.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 4.1.3.10

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 4.1.3.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7 + 0) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 4.1.3.12

Additionnez $45 x^{2} + 10 x - 7$ et $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$

Étape 4.1.3.13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Étape 4.1.3.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Étape 4.1.3.15

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) (1 + 0))$

Étape 4.1.3.16

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.3.16.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1) \cdot 1)$

Étape 4.1.3.16.2

Multipliez $15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1$ par $1$ .

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7) + 15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 ((x - 1) (45 x^{2} + 10 x - 7)) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 ((x - 1) (45 x^{2}) + (x - 1) (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + (x - 1) (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + x (10 x) - 1 (10 x) + (x - 1) \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (45 x^{2}) - 1 (45 x^{2}) + x (10 x) - 1 (10 x) + x \cdot - 7 - 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.6

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (45 x^{2})) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.7.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (45 (x^{1} x^{2})) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (45 x^{1 + 2}) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 (45 x^{3}) + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.4

Multipliez $45$ par $2$ .

$90 x^{3} + 2 (- 1 (45 x^{2})) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.5

Multipliez $45$ par $- 1$ .

$90 x^{3} + 2 (- 45 x^{2}) + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.6

Multipliez $- 45$ par $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (x (10 x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 (x^{1} x)) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 (x^{1} x^{1})) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 x^{1 + 1}) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 2 (10 x^{2}) + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.11

Multipliez $10$ par $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} + 2 (- 1 (10 x)) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.12

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} + 2 (- 10 x) + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.13

Multipliez $- 10$ par $2$ .

$90 x^{3} - 90 x^{2} + 20 x^{2} - 20 x + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.14

Additionnez $- 90 x^{2}$ et $20 x^{2}$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x + 2 (x \cdot - 7) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.15

Déplacez $- 7$ à gauche de $x$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x + 2 (- 7 \cdot x) + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.16

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 2 (- 1 \cdot - 7) + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.17

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 2 \cdot 7 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.18

Multipliez $2$ par $7$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x - 14 x + 14 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.19

Soustrayez $14 x$ de $- 20 x$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (15 x^{3}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.20

Multipliez $15$ par $2$ .

$90 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 30 x^{3} + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.21

Additionnez $90 x^{3}$ et $30 x^{3}$ .

$120 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.22

Multipliez $5$ par $2$ .

$120 x^{3} - 70 x^{2} - 34 x + 14 + 10 x^{2} + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.23

Additionnez $- 70 x^{2}$ et $10 x^{2}$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 34 x + 14 + 2 (- 7 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.24

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 34 x + 14 - 14 x + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.25

Soustrayez $14 x$ de $- 34 x$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 14 + 2 \cdot - 1$

Étape 4.1.4.7.26

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 14 - 2$

Étape 4.1.4.7.27

Soustrayez $2$ de $14$ .

$f' (x) = 120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$120 x^{3} - 60 x^{2} - 48 x + 12 = 0$

Étape 5.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 0.55223569, 0.21673477, 0.83550091$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 0.55223569, 0.21673477, 0.83550091$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 0.55223569$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$360 {(- 0.55223569)}^{2} - 120 \cdot - 0.55223569 - 48$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 0.55223569$ à la puissance $2$ .

$360 \cdot 0.30496425 - 120 \cdot - 0.55223569 - 48$

Étape 9.1.2

Multipliez $360$ par $0.30496425$ .

$109.78713273 - 120 \cdot - 0.55223569 - 48$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 120$ par $- 0.55223569$ .

$109.78713273 + 66.26828283 - 48$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 9.2.1

Additionnez $109.78713273$ et $66.26828283$ .

$176.05541557 - 48$

Étape 9.2.2

Soustrayez $48$ de $176.05541557$ .

$128.05541557$

Étape 10

$x = - 0.55223569$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 0.55223569$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 0.55223569$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.55223569$ dans l’expression.

$f (- 0.55223569) = 2 ((- 0.55223569) - 1) (15 {(- 0.55223569)}^{3} + 5 {(- 0.55223569)}^{2} - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.1.1

Soustrayez $1$ de $- 0.55223569$ .

$f (- 0.55223569) = 2 \cdot (- 1.55223569 (15 {(- 0.55223569)}^{3} + 5 {(- 0.55223569)}^{2} - 7 \cdot - 0.55223569 - 1))$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 1.55223569$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (15 {(- 0.55223569)}^{3} + 5 {(- 0.55223569)}^{2} - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Étape 11.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1

Élevez $- 0.55223569$ à la puissance $3$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (15 \cdot - 0.16841214 + 5 {(- 0.55223569)}^{2} - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $15$ par $- 0.16841214$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (- 2.5261822 + 5 {(- 0.55223569)}^{2} - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Étape 11.2.2.3

Élevez $- 0.55223569$ à la puissance $2$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (- 2.5261822 + 5 \cdot 0.30496425 - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Étape 11.2.2.4

Multipliez $5$ par $0.30496425$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (- 2.5261822 + 1.52482128 - 7 \cdot - 0.55223569 - 1)$

Étape 11.2.2.5

Multipliez $- 7$ par $- 0.55223569$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (- 2.5261822 + 1.52482128 + 3.86564983 - 1)$

Étape 11.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.3.1

Additionnez $- 2.5261822$ et $1.52482128$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (- 1.00136092 + 3.86564983 - 1)$

Étape 11.2.3.2

Additionnez $- 1.00136092$ et $3.86564983$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 (2.86428891 - 1)$

Étape 11.2.3.3

Soustrayez $1$ de $2.86428891$ .

$f (- 0.55223569) = - 3.10447138 \cdot 1.86428891$

Étape 11.2.3.4

Multipliez $- 3.10447138$ par $1.86428891$ .

$f (- 0.55223569) = - 5.78763156$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $- 5.78763156$ .

$y = - 5.78763156$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0.21673477$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$360 {(0.21673477)}^{2} - 120 \cdot 0.21673477 - 48$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Élevez $0.21673477$ à la puissance $2$ .

$360 \cdot 0.04697396 - 120 \cdot 0.21673477 - 48$

Étape 13.1.2

Multipliez $360$ par $0.04697396$ .

$16.91062653 - 120 \cdot 0.21673477 - 48$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 120$ par $0.21673477$ .

$16.91062653 - 26.00817297 - 48$

Étape 13.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Soustrayez $26.00817297$ de $16.91062653$ .

$- 9.09754643 - 48$

Étape 13.2.2

Soustrayez $48$ de $- 9.09754643$ .

$- 57.09754643$

Étape 14

$x = 0.21673477$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0.21673477$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 0.21673477$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $0.21673477$ dans l’expression.

$f (0.21673477) = 2 ((0.21673477) - 1) (15 {(0.21673477)}^{3} + 5 {(0.21673477)}^{2} - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Soustrayez $1$ de $0.21673477$ .

$f (0.21673477) = 2 \cdot (- 0.78326522 (15 {(0.21673477)}^{3} + 5 {(0.21673477)}^{2} - 7 \cdot 0.21673477 - 1))$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 0.78326522$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (15 {(0.21673477)}^{3} + 5 {(0.21673477)}^{2} - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Étape 15.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Élevez $0.21673477$ à la puissance $3$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (15 \cdot 0.01018089 + 5 {(0.21673477)}^{2} - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $15$ par $0.01018089$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (0.15271336 + 5 {(0.21673477)}^{2} - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Étape 15.2.2.3

Élevez $0.21673477$ à la puissance $2$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (0.15271336 + 5 \cdot 0.04697396 - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Étape 15.2.2.4

Multipliez $5$ par $0.04697396$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (0.15271336 + 0.23486981 - 7 \cdot 0.21673477 - 1)$

Étape 15.2.2.5

Multipliez $- 7$ par $0.21673477$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (0.15271336 + 0.23486981 - 1.51714342 - 1)$

Étape 15.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.3.1

Additionnez $0.15271336$ et $0.23486981$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (0.38758318 - 1.51714342 - 1)$

Étape 15.2.3.2

Soustrayez $1.51714342$ de $0.38758318$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 (- 1.12956024 - 1)$

Étape 15.2.3.3

Soustrayez $1$ de $- 1.12956024$ .

$f (0.21673477) = - 1.56653045 \cdot - 2.12956024$

Étape 15.2.3.4

Multipliez $- 1.56653045$ par $- 2.12956024$ .

$f (0.21673477) = 3.33602096$

Étape 15.2.4

La réponse finale est $3.33602096$ .

$y = 3.33602096$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0.83550091$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$360 {(0.83550091)}^{2} - 120 \cdot 0.83550091 - 48$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.1.1

Élevez $0.83550091$ à la puissance $2$ .

$360 \cdot 0.69806177 - 120 \cdot 0.83550091 - 48$

Étape 17.1.2

Multipliez $360$ par $0.69806177$ .

$251.30224072 - 120 \cdot 0.83550091 - 48$

Étape 17.1.3

Multipliez $- 120$ par $0.83550091$ .

$251.30224072 - 100.26010986 - 48$

Étape 17.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.1

Soustrayez $100.26010986$ de $251.30224072$ .

$151.04213086 - 48$

Étape 17.2.2

Soustrayez $48$ de $151.04213086$ .

$103.04213086$

Étape 18

$x = 0.83550091$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0.83550091$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = 0.83550091$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $0.83550091$ dans l’expression.

$f (0.83550091) = 2 ((0.83550091) - 1) (15 {(0.83550091)}^{3} + 5 {(0.83550091)}^{2} - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.1

Soustrayez $1$ de $0.83550091$ .

$f (0.83550091) = 2 \cdot (- 0.16449908 (15 {(0.83550091)}^{3} + 5 {(0.83550091)}^{2} - 7 \cdot 0.83550091 - 1))$

Étape 19.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 0.16449908$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (15 {(0.83550091)}^{3} + 5 {(0.83550091)}^{2} - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Étape 19.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.2.1

Élevez $0.83550091$ à la puissance $3$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (15 \cdot 0.58323125 + 5 {(0.83550091)}^{2} - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Étape 19.2.2.2

Multipliez $15$ par $0.58323125$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (8.74846884 + 5 {(0.83550091)}^{2} - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Étape 19.2.2.3

Élevez $0.83550091$ à la puissance $2$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (8.74846884 + 5 \cdot 0.69806177 - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Étape 19.2.2.4

Multipliez $5$ par $0.69806177$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (8.74846884 + 3.49030889 - 7 \cdot 0.83550091 - 1)$

Étape 19.2.2.5

Multipliez $- 7$ par $0.83550091$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (8.74846884 + 3.49030889 - 5.8485064 - 1)$

Étape 19.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.3.1

Additionnez $8.74846884$ et $3.49030889$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (12.23877774 - 5.8485064 - 1)$

Étape 19.2.3.2

Soustrayez $5.8485064$ de $12.23877774$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 (6.39027133 - 1)$

Étape 19.2.3.3

Soustrayez $1$ de $6.39027133$ .

$f (0.83550091) = - 0.32899816 \cdot 5.39027133$

Étape 19.2.3.4

Multipliez $- 0.32899816$ par $5.39027133$ .

$f (0.83550091) = - 1.77338939$

Étape 19.2.4

La réponse finale est $- 1.77338939$ .

$y = - 1.77338939$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 (x - 1) (15 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x - 1)$ .

$(- 0.55223569, - 5.78763156)$ est un minimum local

$(0.21673477, 3.33602096)$ est un maximum local

$(0.83550091, - 1.77338939)$ est un minimum local

Étape 21