Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} \cdot (3 x y) + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} \cdot (3 x y) + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)]$ .

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Étape 1.2.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} \cdot (x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [6 (x^{1} x^{2}) \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [6 x^{1 + 2} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.2.5

Comme $6 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{3} y$ par rapport à $x$ est $6 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$6 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.2.7

Multipliez $3$ par $6$ .

$18 y x^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.3

Comme $4 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$18 y x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 1.5

Comme $10 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + 0$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Associez des termes.

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Étape 1.6.1.1

Additionnez $18 y x^{2}$ et $0$ .

$18 y x^{2} - 2 + 0$

Étape 1.6.1.2

Additionnez $18 y x^{2} - 2$ et $0$ .

$18 y x^{2} - 2$

Étape 1.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$18 x^{2} y - 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $18 x^{2} y - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [18 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (18 x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 x^{2} y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $18 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x^{2} y$ par rapport à $x$ est $18 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 18 y \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 18 y (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $18$ .

$f'' (x) = 36 y x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 36 y x + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Additionnez $36 y x$ et $0$ .

$f'' (x) = 36 y x$

Étape 2.4.2

Réorganisez les facteurs de $36 y x$ .

$f'' (x) = 36 x y$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$18 x^{2} y - 2 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \cdot (3 x y)]$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} \cdot (x y)] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [6 (x^{1} x^{2}) \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [6 x^{1 + 2} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} \cdot y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.2.5

Comme $6 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{3} y$ par rapport à $x$ est $6 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$6 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $3$ par $6$ .

$18 y x^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.3

Comme $4 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$18 y x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Étape 4.1.5

Comme $10 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$18 y x^{2} + 0 - 2 + 0$

Étape 4.1.6

Simplifiez

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Étape 4.1.6.1

Associez des termes.

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Étape 4.1.6.1.1

Additionnez $18 y x^{2}$ et $0$ .

$18 y x^{2} - 2 + 0$

Étape 4.1.6.1.2

Additionnez $18 y x^{2} - 2$ et $0$ .

$18 y x^{2} - 2$

Étape 4.1.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 18 x^{2} y - 2$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $18 x^{2} y - 2$ .

$18 x^{2} y - 2$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $18 x^{2} y - 2 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$18 x^{2} y - 2 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$18 x^{2} y = 2$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $18 x^{2} y = 2$ par $18 y$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $18 x^{2} y = 2$ par $18 y$ .

$\frac{18 x^{2} y}{18 y} = \frac{2}{18 y}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $18$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{18 x^{2} y}{18 y} = \frac{2}{18 y}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} y}{y} = \frac{2}{18 y}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y}{y} = \frac{2}{18 y}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{18 y}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $18$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x^{2} = \frac{2 (1)}{18 y}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18 y$ .

$x^{2} = \frac{2 (1)}{2 (9 y)}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 (9 y)}$

Étape 5.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{1}{9 y}$

Étape 5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{9 y}}$

Étape 5.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{9 y}}$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez $\frac{1}{9 y}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2} \frac{1}{y}$ .

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Étape 5.5.1.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $1$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \cdot 1}{9 y}}$

Étape 5.5.1.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9 y$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} \cdot 1}{3^{2} y}}$

Étape 5.5.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} \cdot 1}{3^{2} y}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} \frac{1}{y}}$

Étape 5.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm \frac{1}{3} \sqrt{\frac{1}{y}}$

Étape 5.5.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{y}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{y}}$

Étape 5.5.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{y}}$

Étape 5.5.5

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}})$

Étape 5.5.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.6.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{y}}$ par $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}}$

Étape 5.5.6.2

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}}$

Étape 5.5.6.3

Élevez $\sqrt{y}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}}$

Étape 5.5.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}}$

Étape 5.5.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}}$

Étape 5.5.6.6

Réécrivez ${\sqrt{y}}^{2}$ comme $y$ .

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Étape 5.5.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y^{1}}$

Étape 5.5.6.6.5

Simplifiez

$x = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{y}}{y}$

Étape 5.5.7

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Étape 5.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Étape 5.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Étape 5.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

$x = - \frac{\sqrt{y}}{3 y}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{\sqrt{y}}{3 y}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$36 (\frac{\sqrt{y}}{3 y}) y$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1.1

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$3 (12) \frac{\sqrt{y}}{3 y} y$

Étape 9.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 y$ .

$3 (12) \frac{\sqrt{y}}{3 (y)} y$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 12 \frac{\sqrt{y}}{3 y} y$

Étape 9.1.4

Réécrivez l’expression.

$12 \frac{\sqrt{y}}{y} y$

Étape 9.2

Associez $12$ et $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{12 \sqrt{y}}{y} y$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 \sqrt{y}}{y} y$

Étape 9.3.2

Réécrivez l’expression.

$12 \sqrt{y}$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée première $18 x^{2} y - 2$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 18 {(0)}^{2} y - 2$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 18 \cdot (0 y) - 2$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $18$ par $0$ .

$f' (0) = 0 y - 2$

Étape 10.2.2.1.3

Multipliez $0$ par $y$ .

$f' (0) = 0 - 2$

Étape 10.2.2.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f' (0) = - 2$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 10.3

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = 2 x^{2} \cdot (3 x y) + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 11