Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x (100 - \frac{4}{3} x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Associez $x$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (100 - \frac{x \cdot 4}{3})]$

Étape 1.1.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (100 - \frac{4 x}{3})]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x (100 - \frac{4 x}{3})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x (100 - \frac{4 x}{3})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x (100 - \frac{4 x}{3})]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 100 - \frac{4 x}{3}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [100 - \frac{4 x}{3}] + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $100 - \frac{4 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (x (\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]) + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.2

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]) + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}] + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.4

Comme $- \frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4 x}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]) + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.5

Associez les fractions.

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Étape 1.3.5.1

Associez $x$ et $\frac{4}{3}$ .

$2 (- \frac{x \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x] + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.5.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$2 (- \frac{4 \cdot x}{3} \frac{d}{d x} [x] + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (- \frac{4 x}{3} \cdot 1 + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (- \frac{4 x}{3} + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (- \frac{4 x}{3} + (100 - \frac{4 x}{3}) \cdot 1)$

Étape 1.3.9

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.9.1

Multipliez $100 - \frac{4 x}{3}$ par $1$ .

$2 (- \frac{4 x}{3} + 100 - \frac{4 x}{3})$

Étape 1.3.9.2

Soustrayez $\frac{4 x}{3}$ de $- \frac{4 x}{3}$ .

$2 (- 2 \frac{4 x}{3} + 100)$

Étape 1.3.9.3

Associez $- 2$ et $\frac{4 x}{3}$ .

$2 (\frac{- 2 (4 x)}{3} + 100)$

Étape 1.3.9.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.9.4.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$2 (\frac{- 8 x}{3} + 100)$

Étape 1.3.9.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- \frac{8 x}{3} + 100)$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (- \frac{8 x}{3}) + 2 \cdot 100$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \frac{8 x}{3} + 2 \cdot 100$

Étape 1.4.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{8 x}{3}$ .

$\frac{- 2 (8 x)}{3} + 2 \cdot 100$

Étape 1.4.2.3

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$\frac{- 16 x}{3} + 2 \cdot 100$

Étape 1.4.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16 x}{3} + 2 \cdot 100$

Étape 1.4.2.5

Multipliez $2$ par $100$ .

$- \frac{16 x}{3} + 200$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{16 x}{3} + 200$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{16 x}{3}] + \frac{d}{d x} [200]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{16 x}{3}) + \frac{d}{d x} (200)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{16 x}{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- \frac{16}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{16 x}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{16}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (200)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (200)$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} + \frac{d}{d x} (200)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $200$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $200$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $- \frac{16}{3}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{16 x}{3} + 200 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1.1

Associez $x$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (100 - \frac{x \cdot 4}{3})]$

Étape 4.1.1.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (100 - \frac{4 x}{3})]$

Étape 4.1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x (100 - \frac{4 x}{3})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x (100 - \frac{4 x}{3})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x (100 - \frac{4 x}{3})]$

Étape 4.1.2

$2 (x \frac{d}{d x} [100 - \frac{4 x}{3}] + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $100 - \frac{4 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (x (\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]) + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.2

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]) + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}] + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.4

Comme $- \frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4 x}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]) + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.5

Associez les fractions.

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Étape 4.1.3.5.1

Associez $x$ et $\frac{4}{3}$ .

$2 (- \frac{x \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x] + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.5.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$2 (- \frac{4 \cdot x}{3} \frac{d}{d x} [x] + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (- \frac{4 x}{3} \cdot 1 + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 (- \frac{4 x}{3} + (100 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (- \frac{4 x}{3} + (100 - \frac{4 x}{3}) \cdot 1)$

Étape 4.1.3.9

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.3.9.1

Multipliez $100 - \frac{4 x}{3}$ par $1$ .

$2 (- \frac{4 x}{3} + 100 - \frac{4 x}{3})$

Étape 4.1.3.9.2

Soustrayez $\frac{4 x}{3}$ de $- \frac{4 x}{3}$ .

$2 (- 2 \frac{4 x}{3} + 100)$

Étape 4.1.3.9.3

Associez $- 2$ et $\frac{4 x}{3}$ .

$2 (\frac{- 2 (4 x)}{3} + 100)$

Étape 4.1.3.9.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.9.4.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$2 (\frac{- 8 x}{3} + 100)$

Étape 4.1.3.9.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- \frac{8 x}{3} + 100)$

Étape 4.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (- \frac{8 x}{3}) + 2 \cdot 100$

Étape 4.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \frac{8 x}{3} + 2 \cdot 100$

Étape 4.1.4.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{8 x}{3}$ .

$\frac{- 2 (8 x)}{3} + 2 \cdot 100$

Étape 4.1.4.2.3

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$\frac{- 16 x}{3} + 2 \cdot 100$

Étape 4.1.4.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16 x}{3} + 2 \cdot 100$

Étape 4.1.4.2.5

Multipliez $2$ par $100$ .

$f' (x) = - \frac{16 x}{3} + 200$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{16 x}{3} + 200$ .

$- \frac{16 x}{3} + 200$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{16 x}{3} + 200 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{16 x}{3} + 200 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $200$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{16 x}{3} = - 200$

Étape 5.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{3}{16}$ .

$- \frac{3}{16} (- \frac{16 x}{3}) = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Étape 5.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1.1

Simplifiez $- \frac{3}{16} (- \frac{16 x}{3})$ .

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Étape 5.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.4.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{16}$ dans le numérateur.

$\frac{- 3}{16} (- \frac{16 x}{3}) = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Étape 5.4.1.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{16 x}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 3}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Étape 5.4.1.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Étape 5.4.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 1}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Étape 5.4.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{16} (- 16 x) = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Étape 5.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 5.4.1.1.2.1

Factorisez $16$ à partir de $- 16 x$ .

$\frac{- 1}{16} (16 (- x)) = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Étape 5.4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{16} (16 (- x)) = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Étape 5.4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- - x = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Étape 5.4.1.1.3

Multipliez.

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Étape 5.4.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Étape 5.4.1.1.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = - \frac{3}{16} \cdot - 200$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez $- \frac{3}{16} \cdot - 200$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.4.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{16}$ dans le numérateur.

$x = \frac{- 3}{16} \cdot - 200$

Étape 5.4.2.1.1.2

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$x = \frac{- 3}{8 (2)} \cdot - 200$

Étape 5.4.2.1.1.3

Factorisez $8$ à partir de $- 200$ .

$x = \frac{- 3}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 25)$

Étape 5.4.2.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 3}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 25)$

Étape 5.4.2.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- 3}{2} \cdot - 25$

Étape 5.4.2.1.2

Associez $\frac{- 3}{2}$ et $- 25$ .

$x = \frac{- 3 \cdot - 25}{2}$

Étape 5.4.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 25$ .

$x = \frac{75}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{75}{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{75}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{16}{3}$

Étape 9

$x = \frac{75}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{75}{2}$ est un maximum local

Étape 10

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{75}{2}$ .

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{75}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{75}{2}) = 2 (\frac{75}{2}) (100 - \frac{4}{3} \cdot \frac{75}{2})$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{75}{2}) = 2 (\frac{75}{2}) \cdot (100 - \frac{4}{3} \cdot \frac{75}{2})$

Étape 10.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{75}{2}) = 75 (100 - \frac{4}{3} \cdot \frac{75}{2})$

Étape 10.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{3}$ dans le numérateur.

$f (\frac{75}{2}) = 75 (100 + \frac{- 4}{3} \cdot \frac{75}{2})$

Étape 10.2.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$f (\frac{75}{2}) = 75 (100 + \frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{75}{2})$

Étape 10.2.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{75}{2}) = 75 (100 + \frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{75}{2})$

Étape 10.2.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{75}{2}) = 75 (100 + \frac{- 2}{3} \cdot 75)$

Étape 10.2.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $75$ .

$f (\frac{75}{2}) = 75 (100 + \frac{- 2}{3} \cdot (3 (25)))$

Étape 10.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{75}{2}) = 75 (100 + \frac{- 2}{3} \cdot (3 \cdot 25))$

Étape 10.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{75}{2}) = 75 (100 - 2 \cdot 25)$

Étape 10.2.2.3

Multipliez $- 2$ par $25$ .

$f (\frac{75}{2}) = 75 (100 - 50)$

Étape 10.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.3.1

Soustrayez $50$ de $100$ .

$f (\frac{75}{2}) = 75 \cdot 50$

Étape 10.2.3.2

Multipliez $75$ par $50$ .

$f (\frac{75}{2}) = 3750$

Étape 10.2.4

La réponse finale est $3750$ .

$y = 3750$

Étape 11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 x (100 - \frac{4}{3} x)$ .

$(\frac{75}{2}, 3750)$ est un maximum local

Étape 12