Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x {(x + 5)}^{3} + 3 x^{2} {(x + 5)}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x + 5)}^{2}$ comme $(x + 5) (x + 5)$ .

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 5)}^{3} + 3 x^{2} ((x + 5) (x + 5))]$

Étape 1.2

Développez $(x + 5) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 5)}^{3} + 3 x^{2} (x (x + 5) + 5 (x + 5))]$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 5)}^{3} + 3 x^{2} (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5))]$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 5)}^{3} + 3 x^{2} (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)]$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 5)}^{3} + 3 x^{2} (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)]$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 5)}^{3} + 3 x^{2} (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5)]$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 5)}^{3} + 3 x^{2} (x^{2} + 5 x + 5 x + 25)]$

Étape 1.3.2

Additionnez $5 x$ et $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 5)}^{3} + 3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 1.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x {(x + 5)}^{3} + 3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x {(x + 5)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 5)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x {(x + 5)}^{3}]$ .

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Étape 1.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x {(x + 5)}^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x {(x + 5)}^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x + 5)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x + 5)}^{3}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{3}] + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 1.5.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x + 5$ .

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Étape 1.5.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 5$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 5]) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 1.5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 5]) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 1.5.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 5$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5]) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 1.5.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 1.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 1.5.6

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 1.5.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 5)}^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 1.5.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2} \cdot 1) + {(x + 5)}^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 1.5.9

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 1.5.10

Multipliez ${(x + 5)}^{3}$ par $1$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 1.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$ .

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Étape 1.6.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 10 x + 25$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25] + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.6.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 10 x + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 (x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 (x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.6.5

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 (x^{2} (2 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.6.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 (x^{2} (2 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.6.7

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 (x^{2} (2 x + 10 \cdot 1 + 0) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.6.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 (x^{2} (2 x + 10 \cdot 1 + 0) + (x^{2} + 10 x + 25) (2 x))$

Étape 1.6.9

Multipliez $10$ par $1$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 (x^{2} (2 x + 10 + 0) + (x^{2} + 10 x + 25) (2 x))$

Étape 1.6.10

Additionnez $2 x + 10$ et $0$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 (x^{2} (2 x + 10) + (x^{2} + 10 x + 25) (2 x))$

Étape 1.6.11

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 10 x + 25$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 (x^{2} (2 x + 10) + 2 (x^{2} + 10 x + 25) x)$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2})) + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (x^{2} (2 x + 10) + 2 (x^{2} + 10 x + 25) x)$

Étape 1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2})) + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 10 + 2 (x^{2} + 10 x + 25) x)$

Étape 1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2})) + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 10 + (2 x^{2} + 2 (10 x) + 2 \cdot 25) x)$

Étape 1.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2})) + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 10 + 2 x^{2} x + 2 (10 x) x + 2 \cdot 25 x)$

Étape 1.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2})) + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (x^{2} (2 x)) + 3 (x^{2} \cdot 10) + 3 (2 x^{2} x) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 1.7.6

Associez des termes.

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Étape 1.7.6.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 (x ({(x + 5)}^{2})) + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (x^{2} (2 x)) + 3 (x^{2} \cdot 10) + 3 (2 x^{2} x) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 1.7.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.6.2.1

Déplacez $x$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (x \cdot x^{2} \cdot 2) + 3 (x^{2} \cdot 10) + 3 (2 x^{2} x) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 1.7.6.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.7.6.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (x^{1} x^{2} \cdot 2) + 3 (x^{2} \cdot 10) + 3 (2 x^{2} x) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 1.7.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (x^{1 + 2} \cdot 2) + 3 (x^{2} \cdot 10) + 3 (2 x^{2} x) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 1.7.6.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (x^{3} \cdot 2) + 3 (x^{2} \cdot 10) + 3 (2 x^{2} x) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 1.7.6.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (2 \cdot x^{3}) + 3 (x^{2} \cdot 10) + 3 (2 x^{2} x) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 1.7.6.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 3 (x^{2} \cdot 10) + 3 (2 x^{2} x) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 1.7.6.5

Déplacez $10$ à gauche de $x^{2}$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 3 (10 \cdot x^{2}) + 3 (2 x^{2} x) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 1.7.6.6

Multipliez $10$ par $3$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 3 (2 x^{2} x) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 1.7.6.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 3 (2 (x^{1} x^{2})) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 1.7.6.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 3 (2 x^{1 + 2}) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 1.7.6.9

Additionnez $1$ et $2$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 3 (2 x^{3}) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 1.7.6.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x^{3} + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 1.7.6.11

Multipliez $10$ par $2$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x^{3} + 3 (20 x \cdot x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 1.7.6.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x^{3} + 3 (20 (x^{1} x)) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 1.7.6.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x^{3} + 3 (20 (x^{1} x^{1})) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 1.7.6.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x^{3} + 3 (20 x^{1 + 1}) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 1.7.6.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x^{3} + 3 (20 x^{2}) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 1.7.6.16

Multipliez $20$ par $3$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x^{3} + 60 x^{2} + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 1.7.6.17

Multipliez $2$ par $25$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x^{3} + 60 x^{2} + 3 (50 x)$

Étape 1.7.6.18

Multipliez $50$ par $3$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x$

Étape 1.7.6.19

Additionnez $6 x^{3}$ et $6 x^{3}$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 12 x^{3} + 30 x^{2} + 60 x^{2} + 150 x$

Étape 1.7.6.20

Additionnez $30 x^{2}$ et $60 x^{2}$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 12 x^{3} + 90 x^{2} + 150 x$

Étape 1.7.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$12 x^{3} + 2 {(x + 5)}^{3} + 90 x^{2} + 6 x {(x + 5)}^{2} + 150 x$

Étape 1.7.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.8.1

Utilisez le théorème du binôme.

$12 x^{3} + 2 (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}) + 90 x^{2} + 6 x {(x + 5)}^{2} + 150 x$

Étape 1.7.8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.8.2.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$12 x^{3} + 2 (x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}) + 90 x^{2} + 6 x {(x + 5)}^{2} + 150 x$

Étape 1.7.8.2.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$12 x^{3} + 2 (x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + 5^{3}) + 90 x^{2} + 6 x {(x + 5)}^{2} + 150 x$

Étape 1.7.8.2.3

Multipliez $25$ par $3$ .

$12 x^{3} + 2 (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 5^{3}) + 90 x^{2} + 6 x {(x + 5)}^{2} + 150 x$

Étape 1.7.8.2.4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$12 x^{3} + 2 (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125) + 90 x^{2} + 6 x {(x + 5)}^{2} + 150 x$

Étape 1.7.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 2 (15 x^{2}) + 2 (75 x) + 2 \cdot 125 + 90 x^{2} + 6 x {(x + 5)}^{2} + 150 x$

Étape 1.7.8.4

Simplifiez

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Étape 1.7.8.4.1

Multipliez $15$ par $2$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 2 (75 x) + 2 \cdot 125 + 90 x^{2} + 6 x {(x + 5)}^{2} + 150 x$

Étape 1.7.8.4.2

Multipliez $75$ par $2$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 2 \cdot 125 + 90 x^{2} + 6 x {(x + 5)}^{2} + 150 x$

Étape 1.7.8.4.3

Multipliez $2$ par $125$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x {(x + 5)}^{2} + 150 x$

Étape 1.7.8.5

Réécrivez ${(x + 5)}^{2}$ comme $(x + 5) (x + 5)$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x ((x + 5) (x + 5)) + 150 x$

Étape 1.7.8.6

Développez $(x + 5) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.7.8.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x (x (x + 5) + 5 (x + 5)) + 150 x$

Étape 1.7.8.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) + 150 x$

Étape 1.7.8.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) + 150 x$

Étape 1.7.8.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.7.8.7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.8.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) + 150 x$

Étape 1.7.8.7.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) + 150 x$

Étape 1.7.8.7.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) + 150 x$

Étape 1.7.8.7.2

Additionnez $5 x$ et $5 x$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x (x^{2} + 10 x + 25) + 150 x$

Étape 1.7.8.8

Appliquez la propriété distributive.

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x \cdot x^{2} + 6 x (10 x) + 6 x \cdot 25 + 150 x$

Étape 1.7.8.9

Simplifiez

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Étape 1.7.8.9.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.8.9.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 (x^{2} x) + 6 x (10 x) + 6 x \cdot 25 + 150 x$

Étape 1.7.8.9.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.8.9.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 (x^{2} x^{1}) + 6 x (10 x) + 6 x \cdot 25 + 150 x$

Étape 1.7.8.9.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x^{2 + 1} + 6 x (10 x) + 6 x \cdot 25 + 150 x$

Étape 1.7.8.9.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x^{3} + 6 x (10 x) + 6 x \cdot 25 + 150 x$

Étape 1.7.8.9.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot 10 x \cdot x + 6 x \cdot 25 + 150 x$

Étape 1.7.8.9.3

Multipliez $25$ par $6$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot 10 x \cdot x + 150 x + 150 x$

Étape 1.7.8.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.8.10.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.8.10.1.1

Déplacez $x$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot 10 (x \cdot x) + 150 x + 150 x$

Étape 1.7.8.10.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot 10 x^{2} + 150 x + 150 x$

Étape 1.7.8.10.2

Multipliez $6$ par $10$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x + 150 x$

Étape 1.7.9

Additionnez $12 x^{3}$ et $2 x^{3}$ .

$14 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x + 150 x$

Étape 1.7.10

Additionnez $14 x^{3}$ et $6 x^{3}$ .

$20 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 60 x^{2} + 150 x + 150 x$

Étape 1.7.11

Additionnez $30 x^{2}$ et $90 x^{2}$ .

$20 x^{3} + 120 x^{2} + 150 x + 250 + 60 x^{2} + 150 x + 150 x$

Étape 1.7.12

Additionnez $120 x^{2}$ et $60 x^{2}$ .

$20 x^{3} + 180 x^{2} + 150 x + 250 + 150 x + 150 x$

Étape 1.7.13

Additionnez $150 x$ et $150 x$ .

$20 x^{3} + 180 x^{2} + 300 x + 250 + 150 x$

Étape 1.7.14

Additionnez $300 x$ et $150 x$ .

$20 x^{3} + 180 x^{2} + 450 x + 250$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $20 x^{3} + 180 x^{2} + 450 x + 250$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [250]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (180 x^{2}) + \frac{d}{d x} (450 x) + \frac{d}{d x} (250)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (180 x^{2}) + \frac{d}{d x} (450 x) + \frac{d}{d x} (250)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (180 x^{2}) + \frac{d}{d x} (450 x) + \frac{d}{d x} (250)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $20$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (180 x^{2}) + \frac{d}{d x} (450 x) + \frac{d}{d x} (250)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [180 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $180$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $180 x^{2}$ par rapport à $x$ est $180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 180 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (450 x) + \frac{d}{d x} (250)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 180 (2 x) + \frac{d}{d x} (450 x) + \frac{d}{d x} (250)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $180$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 360 x + \frac{d}{d x} (450 x) + \frac{d}{d x} (250)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [450 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $450$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $450 x$ par rapport à $x$ est $450 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 360 x + 450 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (250)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 360 x + 450 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (250)$

Étape 2.4.3

Multipliez $450$ par $1$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 360 x + 450 + \frac{d}{d x} (250)$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.5.1

Comme $250$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $250$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 360 x + 450 + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $60 x^{2} + 360 x + 450$ et $0$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 360 x + 450$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$20 x^{3} + 180 x^{2} + 450 x + 250 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Réécrivez ${(x + 5)}^{2}$ comme $(x + 5) (x + 5)$ .

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 5)}^{3} + 3 x^{2} ((x + 5) (x + 5))]$

Étape 4.1.2

Développez $(x + 5) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 5)}^{3} + 3 x^{2} (x (x + 5) + 5 (x + 5))]$

Étape 4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 5)}^{3} + 3 x^{2} (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5))]$

Étape 4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 5)}^{3} + 3 x^{2} (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)]$

Étape 4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 5)}^{3} + 3 x^{2} (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)]$

Étape 4.1.3.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 5)}^{3} + 3 x^{2} (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5)]$

Étape 4.1.3.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 5)}^{3} + 3 x^{2} (x^{2} + 5 x + 5 x + 25)]$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $5 x$ et $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 5)}^{3} + 3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 4.1.4

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 5)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 4.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x {(x + 5)}^{3}]$ .

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Étape 4.1.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x {(x + 5)}^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x {(x + 5)}^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x + 5)}^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 4.1.5.2

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{3}] + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 4.1.5.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x + 5$ .

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Étape 4.1.5.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 5$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 5]) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 4.1.5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 5]) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 4.1.5.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 5$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 5]) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 4.1.5.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 4.1.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 4.1.5.6

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 4.1.5.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 5)}^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 4.1.5.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2} \cdot 1) + {(x + 5)}^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 4.1.5.9

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 4.1.5.10

Multipliez ${(x + 5)}^{3}$ par $1$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 4.1.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$ .

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Étape 4.1.6.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 \frac{d}{d x} [x^{2} (x^{2} + 10 x + 25)]$

Étape 4.1.6.2

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25] + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.6.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 10 x + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 (x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 (x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.6.5

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 (x^{2} (2 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.6.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 (x^{2} (2 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.6.7

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 (x^{2} (2 x + 10 \cdot 1 + 0) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 4.1.6.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 (x^{2} (2 x + 10 \cdot 1 + 0) + (x^{2} + 10 x + 25) (2 x))$

Étape 4.1.6.9

Multipliez $10$ par $1$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 (x^{2} (2 x + 10 + 0) + (x^{2} + 10 x + 25) (2 x))$

Étape 4.1.6.10

Additionnez $2 x + 10$ et $0$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 (x^{2} (2 x + 10) + (x^{2} + 10 x + 25) (2 x))$

Étape 4.1.6.11

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 10 x + 25$ .

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2}) + {(x + 5)}^{3}) + 3 (x^{2} (2 x + 10) + 2 (x^{2} + 10 x + 25) x)$

Étape 4.1.7

Simplifiez

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Étape 4.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2})) + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (x^{2} (2 x + 10) + 2 (x^{2} + 10 x + 25) x)$

Étape 4.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2})) + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 10 + 2 (x^{2} + 10 x + 25) x)$

Étape 4.1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2})) + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 10 + (2 x^{2} + 2 (10 x) + 2 \cdot 25) x)$

Étape 4.1.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2})) + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 10 + 2 x^{2} x + 2 (10 x) x + 2 \cdot 25 x)$

Étape 4.1.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x (3 {(x + 5)}^{2})) + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (x^{2} (2 x)) + 3 (x^{2} \cdot 10) + 3 (2 x^{2} x) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 4.1.7.6

Associez des termes.

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Étape 4.1.7.6.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 (x ({(x + 5)}^{2})) + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (x^{2} (2 x)) + 3 (x^{2} \cdot 10) + 3 (2 x^{2} x) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 4.1.7.6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.7.6.2.1

Déplacez $x$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (x \cdot x^{2} \cdot 2) + 3 (x^{2} \cdot 10) + 3 (2 x^{2} x) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 4.1.7.6.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.1.7.6.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (x^{1} x^{2} \cdot 2) + 3 (x^{2} \cdot 10) + 3 (2 x^{2} x) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 4.1.7.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (x^{1 + 2} \cdot 2) + 3 (x^{2} \cdot 10) + 3 (2 x^{2} x) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 4.1.7.6.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (x^{3} \cdot 2) + 3 (x^{2} \cdot 10) + 3 (2 x^{2} x) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 4.1.7.6.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 3 (2 \cdot x^{3}) + 3 (x^{2} \cdot 10) + 3 (2 x^{2} x) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 4.1.7.6.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 3 (x^{2} \cdot 10) + 3 (2 x^{2} x) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 4.1.7.6.5

Déplacez $10$ à gauche de $x^{2}$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 3 (10 \cdot x^{2}) + 3 (2 x^{2} x) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 4.1.7.6.6

Multipliez $10$ par $3$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 3 (2 x^{2} x) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 4.1.7.6.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 3 (2 (x^{1} x^{2})) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 4.1.7.6.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 3 (2 x^{1 + 2}) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 4.1.7.6.9

Additionnez $1$ et $2$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 3 (2 x^{3}) + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 4.1.7.6.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x^{3} + 3 (2 (10 x) x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 4.1.7.6.11

Multipliez $10$ par $2$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x^{3} + 3 (20 x \cdot x) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 4.1.7.6.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x^{3} + 3 (20 (x^{1} x)) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 4.1.7.6.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x^{3} + 3 (20 (x^{1} x^{1})) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 4.1.7.6.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x^{3} + 3 (20 x^{1 + 1}) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 4.1.7.6.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x^{3} + 3 (20 x^{2}) + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 4.1.7.6.16

Multipliez $20$ par $3$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x^{3} + 60 x^{2} + 3 (2 \cdot 25 x)$

Étape 4.1.7.6.17

Multipliez $2$ par $25$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x^{3} + 60 x^{2} + 3 (50 x)$

Étape 4.1.7.6.18

Multipliez $50$ par $3$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 6 x^{3} + 30 x^{2} + 6 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x$

Étape 4.1.7.6.19

Additionnez $6 x^{3}$ et $6 x^{3}$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 12 x^{3} + 30 x^{2} + 60 x^{2} + 150 x$

Étape 4.1.7.6.20

Additionnez $30 x^{2}$ et $60 x^{2}$ .

$6 x {(x + 5)}^{2} + 2 {(x + 5)}^{3} + 12 x^{3} + 90 x^{2} + 150 x$

Étape 4.1.7.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$12 x^{3} + 2 {(x + 5)}^{3} + 90 x^{2} + 6 x {(x + 5)}^{2} + 150 x$

Étape 4.1.7.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.7.8.1

Utilisez le théorème du binôme.

$12 x^{3} + 2 (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}) + 90 x^{2} + 6 x {(x + 5)}^{2} + 150 x$

Étape 4.1.7.8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.7.8.2.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$12 x^{3} + 2 (x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}) + 90 x^{2} + 6 x {(x + 5)}^{2} + 150 x$

Étape 4.1.7.8.2.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$12 x^{3} + 2 (x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + 5^{3}) + 90 x^{2} + 6 x {(x + 5)}^{2} + 150 x$

Étape 4.1.7.8.2.3

Multipliez $25$ par $3$ .

$12 x^{3} + 2 (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 5^{3}) + 90 x^{2} + 6 x {(x + 5)}^{2} + 150 x$

Étape 4.1.7.8.2.4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$12 x^{3} + 2 (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125) + 90 x^{2} + 6 x {(x + 5)}^{2} + 150 x$

Étape 4.1.7.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 2 (15 x^{2}) + 2 (75 x) + 2 \cdot 125 + 90 x^{2} + 6 x {(x + 5)}^{2} + 150 x$

Étape 4.1.7.8.4

Simplifiez

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Étape 4.1.7.8.4.1

Multipliez $15$ par $2$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 2 (75 x) + 2 \cdot 125 + 90 x^{2} + 6 x {(x + 5)}^{2} + 150 x$

Étape 4.1.7.8.4.2

Multipliez $75$ par $2$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 2 \cdot 125 + 90 x^{2} + 6 x {(x + 5)}^{2} + 150 x$

Étape 4.1.7.8.4.3

Multipliez $2$ par $125$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x {(x + 5)}^{2} + 150 x$

Étape 4.1.7.8.5

Réécrivez ${(x + 5)}^{2}$ comme $(x + 5) (x + 5)$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x ((x + 5) (x + 5)) + 150 x$

Étape 4.1.7.8.6

Développez $(x + 5) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.7.8.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x (x (x + 5) + 5 (x + 5)) + 150 x$

Étape 4.1.7.8.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) + 150 x$

Étape 4.1.7.8.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) + 150 x$

Étape 4.1.7.8.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.7.8.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.7.8.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) + 150 x$

Étape 4.1.7.8.7.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) + 150 x$

Étape 4.1.7.8.7.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) + 150 x$

Étape 4.1.7.8.7.2

Additionnez $5 x$ et $5 x$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x (x^{2} + 10 x + 25) + 150 x$

Étape 4.1.7.8.8

Appliquez la propriété distributive.

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x \cdot x^{2} + 6 x (10 x) + 6 x \cdot 25 + 150 x$

Étape 4.1.7.8.9

Simplifiez

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Étape 4.1.7.8.9.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.7.8.9.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 (x^{2} x) + 6 x (10 x) + 6 x \cdot 25 + 150 x$

Étape 4.1.7.8.9.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 4.1.7.8.9.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 (x^{2} x^{1}) + 6 x (10 x) + 6 x \cdot 25 + 150 x$

Étape 4.1.7.8.9.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x^{2 + 1} + 6 x (10 x) + 6 x \cdot 25 + 150 x$

Étape 4.1.7.8.9.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x^{3} + 6 x (10 x) + 6 x \cdot 25 + 150 x$

Étape 4.1.7.8.9.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot 10 x \cdot x + 6 x \cdot 25 + 150 x$

Étape 4.1.7.8.9.3

Multipliez $25$ par $6$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot 10 x \cdot x + 150 x + 150 x$

Étape 4.1.7.8.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.7.8.10.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.7.8.10.1.1

Déplacez $x$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot 10 (x \cdot x) + 150 x + 150 x$

Étape 4.1.7.8.10.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot 10 x^{2} + 150 x + 150 x$

Étape 4.1.7.8.10.2

Multipliez $6$ par $10$ .

$12 x^{3} + 2 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x + 150 x$

Étape 4.1.7.9

Additionnez $12 x^{3}$ et $2 x^{3}$ .

$14 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 6 x^{3} + 60 x^{2} + 150 x + 150 x$

Étape 4.1.7.10

Additionnez $14 x^{3}$ et $6 x^{3}$ .

$20 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + 250 + 90 x^{2} + 60 x^{2} + 150 x + 150 x$

Étape 4.1.7.11

Additionnez $30 x^{2}$ et $90 x^{2}$ .

$20 x^{3} + 120 x^{2} + 150 x + 250 + 60 x^{2} + 150 x + 150 x$

Étape 4.1.7.12

Additionnez $120 x^{2}$ et $60 x^{2}$ .

$20 x^{3} + 180 x^{2} + 150 x + 250 + 150 x + 150 x$

Étape 4.1.7.13

Additionnez $150 x$ et $150 x$ .

$20 x^{3} + 180 x^{2} + 300 x + 250 + 150 x$

Étape 4.1.7.14

Additionnez $300 x$ et $150 x$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + 180 x^{2} + 450 x + 250$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $20 x^{3} + 180 x^{2} + 450 x + 250$ .

$20 x^{3} + 180 x^{2} + 450 x + 250$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $20 x^{3} + 180 x^{2} + 450 x + 250 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$20 x^{3} + 180 x^{2} + 450 x + 250 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $10$ à partir de $20 x^{3} + 180 x^{2} + 450 x + 250$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $10$ à partir de $20 x^{3}$ .

$10 (2 x^{3}) + 180 x^{2} + 450 x + 250 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $10$ à partir de $180 x^{2}$ .

$10 (2 x^{3}) + 10 (18 x^{2}) + 450 x + 250 = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $10$ à partir de $450 x$ .

$10 (2 x^{3}) + 10 (18 x^{2}) + 10 (45 x) + 250 = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $10$ à partir de $250$ .

$10 (2 x^{3}) + 10 (18 x^{2}) + 10 (45 x) + 10 (25) = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $10$ à partir de $10 (2 x^{3}) + 10 (18 x^{2})$ .

$10 (2 x^{3} + 18 x^{2}) + 10 (45 x) + 10 (25) = 0$

Étape 5.2.1.6

Factorisez $10$ à partir de $10 (2 x^{3} + 18 x^{2}) + 10 (45 x)$ .

$10 (2 x^{3} + 18 x^{2} + 45 x) + 10 (25) = 0$

Étape 5.2.1.7

Factorisez $10$ à partir de $10 (2 x^{3} + 18 x^{2} + 45 x) + 10 (25)$ .

$10 (2 x^{3} + 18 x^{2} + 45 x + 25) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2 x^{3} + 18 x^{2} + 45 x + 25$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.2.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 5.2.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 25, \pm 12.5, \pm 5, \pm 2.5$

Étape 5.2.2.1.3

Remplacez $- 5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 5$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.2.2.1.3.1

Remplacez $- 5$ dans le polynôme.

$2 {(- 5)}^{3} + 18 {(- 5)}^{2} + 45 \cdot - 5 + 25$

Étape 5.2.2.1.3.2

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 125 + 18 {(- 5)}^{2} + 45 \cdot - 5 + 25$

Étape 5.2.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 125$ .

$- 250 + 18 {(- 5)}^{2} + 45 \cdot - 5 + 25$

Étape 5.2.2.1.3.4

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$- 250 + 18 \cdot 25 + 45 \cdot - 5 + 25$

Étape 5.2.2.1.3.5

Multipliez $18$ par $25$ .

$- 250 + 450 + 45 \cdot - 5 + 25$

Étape 5.2.2.1.3.6

Additionnez $- 250$ et $450$ .

$200 + 45 \cdot - 5 + 25$

Étape 5.2.2.1.3.7

Multipliez $45$ par $- 5$ .

$200 - 225 + 25$

Étape 5.2.2.1.3.8

Soustrayez $225$ de $200$ .

$- 25 + 25$

Étape 5.2.2.1.3.9

Additionnez $- 25$ et $25$ .

$0$

Étape 5.2.2.1.4

Comme $- 5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 5$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} + 18 x^{2} + 45 x + 25}{x + 5}$

Étape 5.2.2.1.5

Divisez $2 x^{3} + 18 x^{2} + 45 x + 25$ par $x + 5$ .

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Étape 5.2.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$18 x^{2}$

$45 x$

$25$

Étape 5.2.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$18 x^{2}$	+	$45 x$	+	$25$

Étape 5.2.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$18 x^{2}$	+	$45 x$	+	$25$
			+	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Étape 5.2.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + 10 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$18 x^{2}$	+	$45 x$	+	$25$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Étape 5.2.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$18 x^{2}$	+	$45 x$	+	$25$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Étape 5.2.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$18 x^{2}$	+	$45 x$	+	$25$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$45 x$

Étape 5.2.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $8 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$18 x^{2}$	+	$45 x$	+	$25$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$45 x$

Étape 5.2.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$18 x^{2}$	+	$45 x$	+	$25$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$45 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$40 x$

Étape 5.2.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $8 x^{2} + 40 x$

				$2 x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$18 x^{2}$	+	$45 x$	+	$25$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$45 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$40 x$

Étape 5.2.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$18 x^{2}$	+	$45 x$	+	$25$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$45 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$5 x$

Étape 5.2.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	+	$8 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$18 x^{2}$	+	$45 x$	+	$25$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$45 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$5 x$	+	$25$

Étape 5.2.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$8 x$	+	$5$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$18 x^{2}$	+	$45 x$	+	$25$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$45 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$5 x$	+	$25$

Étape 5.2.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	+	$8 x$	+	$5$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$18 x^{2}$	+	$45 x$	+	$25$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$45 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$5 x$	+	$25$
							+	$5 x$	+	$25$

Étape 5.2.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x + 25$

				$2 x^{2}$	+	$8 x$	+	$5$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$18 x^{2}$	+	$45 x$	+	$25$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$45 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$5 x$	+	$25$
							-	$5 x$	-	$25$

Étape 5.2.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	+	$8 x$	+	$5$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$18 x^{2}$	+	$45 x$	+	$25$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$45 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$5 x$	+	$25$
							-	$5 x$	-	$25$
										$0$

Étape 5.2.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} + 8 x + 5$

Étape 5.2.2.1.6

Écrivez $2 x^{3} + 18 x^{2} + 45 x + 25$ comme un ensemble de facteurs.

$10 ((x + 5) (2 x^{2} + 8 x + 5)) = 0$

Étape 5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$10 (x + 5) (2 x^{2} + 8 x + 5) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 5 = 0$

$2 x^{2} + 8 x + 5 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 5.4.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 5.5

Définissez $2 x^{2} + 8 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $2 x^{2} + 8 x + 5$ égal à $0$ .

$2 x^{2} + 8 x + 5 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $2 x^{2} + 8 x + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 8$ et $c = 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 5)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez

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Étape 5.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.2.3.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 5.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 40}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.3.1.3

Soustrayez $40$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.3.1.4

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 5.5.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{6}}{4}$

Étape 5.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{6}}{4}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{6}}{2}$

Étape 5.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.2.4.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 5.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 40}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.4.1.3

Soustrayez $40$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.4.1.4

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 5.5.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{6}}{4}$

Étape 5.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{6}}{4}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{6}}{2}$

Étape 5.5.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 4 + \sqrt{6}}{2}$

Étape 5.5.2.4.5

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 + \sqrt{6}}{2}$

Étape 5.5.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - 1 (- \sqrt{6})}{2}$

Étape 5.5.2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (4) - 1 (- \sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (4 - \sqrt{6})}{2}$

Étape 5.5.2.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4 - \sqrt{6}}{2}$

Étape 5.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.2.5.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 5.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 40}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.5.1.3

Soustrayez $40$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.5.1.4

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 5.5.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{6}}{4}$

Étape 5.5.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{6}}{4}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{6}}{2}$

Étape 5.5.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 4 - \sqrt{6}}{2}$

Étape 5.5.2.5.5

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - \sqrt{6}}{2}$

Étape 5.5.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - (\sqrt{6})}{2}$

Étape 5.5.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (4) - (\sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (4 + \sqrt{6})}{2}$

Étape 5.5.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4 + \sqrt{6}}{2}$

Étape 5.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{4 - \sqrt{6}}{2}, - \frac{4 + \sqrt{6}}{2}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $10 (x + 5) (2 x^{2} + 8 x + 5) = 0$ vraie.

$x = - 5, - \frac{4 - \sqrt{6}}{2}, - \frac{4 + \sqrt{6}}{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 5, - \frac{4 - \sqrt{6}}{2}, - \frac{4 + \sqrt{6}}{2}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$60 {(- 5)}^{2} + 360 (- 5) + 450$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$60 \cdot 25 + 360 (- 5) + 450$

Étape 9.1.2

Multipliez $60$ par $25$ .

$1500 + 360 (- 5) + 450$

Étape 9.1.3

Multipliez $360$ par $- 5$ .

$1500 - 1800 + 450$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 9.2.1

Soustrayez $1800$ de $1500$ .

$- 300 + 450$

Étape 9.2.2

Additionnez $- 300$ et $450$ .

$150$

Étape 10

$x = - 5$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 5$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 5$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = 2 (- 5) {((- 5) + 5)}^{3} + 3 {(- 5)}^{2} {((- 5) + 5)}^{2}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$f (- 5) = - 10 {((- 5) + 5)}^{3} + 3 {(- 5)}^{2} {((- 5) + 5)}^{2}$

Étape 11.2.1.2

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f (- 5) = - 10 \cdot 0^{3} + 3 {(- 5)}^{2} {((- 5) + 5)}^{2}$

Étape 11.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (- 5) = - 10 \cdot 0 + 3 {(- 5)}^{2} {((- 5) + 5)}^{2}$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $- 10$ par $0$ .

$f (- 5) = 0 + 3 {(- 5)}^{2} {((- 5) + 5)}^{2}$

Étape 11.2.1.5

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f (- 5) = 0 + 3 \cdot (25 {((- 5) + 5)}^{2})$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $3$ par $25$ .

$f (- 5) = 0 + 75 {((- 5) + 5)}^{2}$

Étape 11.2.1.7

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f (- 5) = 0 + 75 \cdot 0^{2}$

Étape 11.2.1.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (- 5) = 0 + 75 \cdot 0$

Étape 11.2.1.9

Multipliez $75$ par $0$ .

$f (- 5) = 0 + 0$

Étape 11.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (- 5) = 0$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{4 - \sqrt{6}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$60 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 13.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}$ .

$60 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2}) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 - \sqrt{6}}{2}$ .

$60 ({(- 1)}^{2} \frac{{(4 - \sqrt{6})}^{2}}{2^{2}}) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$60 (1 \frac{{(4 - \sqrt{6})}^{2}}{2^{2}}) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.3

Multipliez $\frac{{(4 - \sqrt{6})}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$60 \frac{{(4 - \sqrt{6})}^{2}}{2^{2}} + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$60 \frac{{(4 - \sqrt{6})}^{2}}{4} + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 13.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$4 (15) \frac{{(4 - \sqrt{6})}^{2}}{4} + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 15 \frac{{(4 - \sqrt{6})}^{2}}{4} + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$15 {(4 - \sqrt{6})}^{2} + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.6

Réécrivez ${(4 - \sqrt{6})}^{2}$ comme $(4 - \sqrt{6}) (4 - \sqrt{6})$ .

$15 ((4 - \sqrt{6}) (4 - \sqrt{6})) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.7

Développez $(4 - \sqrt{6}) (4 - \sqrt{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 13.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$15 (4 (4 - \sqrt{6}) - \sqrt{6} (4 - \sqrt{6})) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$15 (4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} (4 - \sqrt{6})) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$15 (4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \cdot 4 - \sqrt{6} (- \sqrt{6})) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 13.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.8.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$15 (16 + 4 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \cdot 4 - \sqrt{6} (- \sqrt{6})) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.8.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$15 (16 - 4 \sqrt{6} - \sqrt{6} \cdot 4 - \sqrt{6} (- \sqrt{6})) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.8.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$15 (16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.8.1.4

Multipliez $- \sqrt{6} (- \sqrt{6})$ .

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Étape 13.1.8.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$15 (16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 1 \sqrt{6} \sqrt{6}) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.8.1.4.2

Multipliez $\sqrt{6}$ par $1$ .

$15 (16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6}) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.8.1.4.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$15 (16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + {\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.8.1.4.4

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$15 (16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + {\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.8.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$15 (16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + {\sqrt{6}}^{1 + 1}) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.8.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$15 (16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + {\sqrt{6}}^{2}) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.8.1.5

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 13.1.8.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$15 (16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.8.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 (16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.8.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$15 (16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 6^{\frac{2}{2}}) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.8.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.8.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$15 (16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 6^{\frac{2}{2}}) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.8.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$15 (16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 6^{1}) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.8.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$15 (16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 6) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.8.2

Additionnez $16$ et $6$ .

$15 (22 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6}) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.8.3

Soustrayez $4 \sqrt{6}$ de $- 4 \sqrt{6}$ .

$15 (22 - 8 \sqrt{6}) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$15 \cdot 22 + 15 (- 8 \sqrt{6}) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.10

Multipliez $15$ par $22$ .

$330 + 15 (- 8 \sqrt{6}) + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.11

Multipliez $- 8$ par $15$ .

$330 - 120 \sqrt{6} + 360 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 13.1.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.12.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}$ dans le numérateur.

$330 - 120 \sqrt{6} + 360 \frac{- (4 - \sqrt{6})}{2} + 450$

Étape 13.1.12.2

Factorisez $2$ à partir de $360$ .

$330 - 120 \sqrt{6} + 2 (180) \frac{- (4 - \sqrt{6})}{2} + 450$

Étape 13.1.12.3

Annulez le facteur commun.

$330 - 120 \sqrt{6} + 2 \cdot 180 \frac{- (4 - \sqrt{6})}{2} + 450$

Étape 13.1.12.4

Réécrivez l’expression.

$330 - 120 \sqrt{6} + 180 (- (4 - \sqrt{6})) + 450$

Étape 13.1.13

Multipliez $- 1$ par $180$ .

$330 - 120 \sqrt{6} - 180 (4 - \sqrt{6}) + 450$

Étape 13.1.14

Appliquez la propriété distributive.

$330 - 120 \sqrt{6} - 180 \cdot 4 - 180 (- \sqrt{6}) + 450$

Étape 13.1.15

Multipliez $- 180$ par $4$ .

$330 - 120 \sqrt{6} - 720 - 180 (- \sqrt{6}) + 450$

Étape 13.1.16

Multipliez $- 1$ par $- 180$ .

$330 - 120 \sqrt{6} - 720 + 180 \sqrt{6} + 450$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 13.2.1

Soustrayez $720$ de $330$ .

$- 390 - 120 \sqrt{6} + 180 \sqrt{6} + 450$

Étape 13.2.2

Additionnez $- 390$ et $450$ .

$60 - 120 \sqrt{6} + 180 \sqrt{6}$

Étape 13.2.3

Additionnez $- 120 \sqrt{6}$ et $180 \sqrt{6}$ .

$60 + 60 \sqrt{6}$

Étape 14

$x = - \frac{4 - \sqrt{6}}{2}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{4 - \sqrt{6}}{2}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{4 - \sqrt{6}}{2}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = 2 (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{3} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = 2 (\frac{- (4 - \sqrt{6})}{2}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{3} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = 2 (\frac{- (4 - \sqrt{6})}{2}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{3} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - (4 - \sqrt{6}) {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{3} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 1 \cdot 4 + \sqrt{6}) {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{3} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{3} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.4

Multipliez $- - \sqrt{6}$ .

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Étape 15.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + 1 \sqrt{6}) {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{3} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.4.2

Multipliez $\sqrt{6}$ par $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{3} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.5

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.6

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) {(\frac{- (4 - \sqrt{6}) + 5 \cdot 2}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) {(\frac{- 1 \cdot 4 + \sqrt{6} + 5 \cdot 2}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.8.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) {(\frac{- 4 + \sqrt{6} + 5 \cdot 2}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.8.3

Multipliez $- - \sqrt{6}$ .

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Étape 15.2.1.8.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) {(\frac{- 4 + 1 \sqrt{6} + 5 \cdot 2}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.8.3.2

Multipliez $\sqrt{6}$ par $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) {(\frac{- 4 + \sqrt{6} + 5 \cdot 2}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.8.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) {(\frac{- 4 + \sqrt{6} + 10}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.8.5

Additionnez $- 4$ et $10$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) {(\frac{6 + \sqrt{6}}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{6 + \sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{3}}{2^{3}}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.10

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.11

Utilisez le théorème du binôme.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{6^{3} + 3 \cdot (6^{2} \sqrt{6}) + 3 \cdot (6 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.12.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{216 + 3 \cdot (6^{2} \sqrt{6}) + 3 \cdot (6 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.12.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{216 + 3 \cdot (36 \sqrt{6}) + 3 \cdot (6 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.12.3

Multipliez $3$ par $36$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{216 + 108 \sqrt{6} + 3 \cdot (6 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.12.4

Multipliez $3$ par $6$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 {\sqrt{6}}^{2} + {\sqrt{6}}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.12.5

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 15.2.1.12.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{6}}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.12.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{6}}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.12.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{6}}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.12.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.12.5.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 15.2.1.12.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6 + {\sqrt{6}}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.12.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6 + {\sqrt{6}}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.12.6

Multipliez $18$ par $6$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + {\sqrt{6}}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.12.7

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{3}$ comme $\sqrt{6^{3}}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + \sqrt{6^{3}}}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.12.8

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + \sqrt{216}}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.12.9

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

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Étape 15.2.1.12.9.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + \sqrt{36 (6)}}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.12.9.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.12.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + 6 \sqrt{6}}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.13

Additionnez $216$ et $108$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{324 + 108 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6}}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.14

Additionnez $108 \sqrt{6}$ et $6 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{324 + 114 \sqrt{6}}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.15

Annulez le facteur commun à $324 + 114 \sqrt{6}$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.15.1

Factorisez $2$ à partir de $324$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{2 (162) + 114 \sqrt{6}}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.15.2

Factorisez $2$ à partir de $114 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{2 (162) + 2 (57 \sqrt{6})}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.15.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (162) + 2 (57 \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{2 (162 + 57 \sqrt{6})}{8}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.15.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.15.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{2 (162 + 57 \sqrt{6})}{2 \cdot 4}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.15.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{2 (162 + 57 \sqrt{6})}{2 \cdot 4}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.15.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = (- 4 + \sqrt{6}) (\frac{162 + 57 \sqrt{6}}{4}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.16

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 4 \frac{162 + 57 \sqrt{6}}{4} + \sqrt{6} (\frac{162 + 57 \sqrt{6}}{4}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.17

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 15.2.1.17.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = 4 (- 1) (\frac{162 + 57 \sqrt{6}}{4}) + \sqrt{6} (\frac{162 + 57 \sqrt{6}}{4}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.17.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = 4 \cdot (- 1 \frac{162 + 57 \sqrt{6}}{4}) + \sqrt{6} (\frac{162 + 57 \sqrt{6}}{4}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.17.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 1 (162 + 57 \sqrt{6}) + \sqrt{6} (\frac{162 + 57 \sqrt{6}}{4}) + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.18

Associez $\sqrt{6}$ et $\frac{162 + 57 \sqrt{6}}{4}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 1 (162 + 57 \sqrt{6}) + \frac{\sqrt{6} (162 + 57 \sqrt{6})}{4} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.19.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 1 \cdot 162 - 1 (57 \sqrt{6}) + \frac{\sqrt{6} (162 + 57 \sqrt{6})}{4} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19.2

Multipliez $- 1$ par $162$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 1 (57 \sqrt{6}) + \frac{\sqrt{6} (162 + 57 \sqrt{6})}{4} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19.3

Multipliez $57$ par $- 1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 57 \sqrt{6} + \frac{\sqrt{6} (162 + 57 \sqrt{6})}{4} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 57 \sqrt{6} + \frac{\sqrt{6} \cdot 162 + \sqrt{6} (57 \sqrt{6})}{4} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19.5

Déplacez $162$ à gauche de $\sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 57 \sqrt{6} + \frac{162 \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6} (57 \sqrt{6})}{4} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19.6

Multipliez $\sqrt{6} (57 \sqrt{6})$ .

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Étape 15.2.1.19.6.1

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 57 \sqrt{6} + \frac{162 \cdot \sqrt{6} + 57 (\sqrt{6} \sqrt{6})}{4} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19.6.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 57 \sqrt{6} + \frac{162 \cdot \sqrt{6} + 57 (\sqrt{6} \sqrt{6})}{4} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 57 \sqrt{6} + \frac{162 \cdot \sqrt{6} + 57 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}{4} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 57 \sqrt{6} + \frac{162 \cdot \sqrt{6} + 57 {\sqrt{6}}^{2}}{4} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.19.7.1

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 15.2.1.19.7.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 57 \sqrt{6} + \frac{162 \sqrt{6} + 57 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19.7.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 57 \sqrt{6} + \frac{162 \sqrt{6} + 57 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19.7.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 57 \sqrt{6} + \frac{162 \sqrt{6} + 57 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{4} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19.7.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.19.7.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 57 \sqrt{6} + \frac{162 \sqrt{6} + 57 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{4} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19.7.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 57 \sqrt{6} + \frac{162 \sqrt{6} + 57 \cdot 6}{4} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19.7.1.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 57 \sqrt{6} + \frac{162 \sqrt{6} + 57 \cdot 6}{4} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19.7.2

Multipliez $57$ par $6$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 57 \sqrt{6} + \frac{162 \sqrt{6} + 342}{4} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19.8

Annulez le facteur commun à $162 \sqrt{6} + 342$ et $4$ .

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Étape 15.2.1.19.8.1

Factorisez $2$ à partir de $162 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 57 \sqrt{6} + \frac{2 (81 \sqrt{6}) + 342}{4} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19.8.2

Factorisez $2$ à partir de $342$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 57 \sqrt{6} + \frac{2 (81 \sqrt{6}) + 2 (171)}{4} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (81 \sqrt{6}) + 2 (171)$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 57 \sqrt{6} + \frac{2 (81 \sqrt{6} + 171)}{4} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19.8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.19.8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 57 \sqrt{6} + \frac{2 (81 \sqrt{6} + 171)}{2 (2)} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19.8.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 57 \sqrt{6} + \frac{2 (81 \sqrt{6} + 171)}{2 \cdot 2} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.19.8.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 57 \sqrt{6} + \frac{81 \sqrt{6} + 171}{2} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.20

Pour écrire $- 162$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - 162 \cdot \frac{2}{2} + \frac{81 \sqrt{6} + 171}{2} - 57 \sqrt{6} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.21

Associez $- 162$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 162 \cdot 2}{2} + \frac{81 \sqrt{6} + 171}{2} - 57 \sqrt{6} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 162 \cdot 2 + 81 \sqrt{6} + 171}{2} - 57 \sqrt{6} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.23

Multipliez $- 162$ par $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 324 + 81 \sqrt{6} + 171}{2} - 57 \sqrt{6} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.24

Additionnez $- 324$ et $171$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 81 \sqrt{6}}{2} - 57 \sqrt{6} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.25

Pour écrire $- 57 \sqrt{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 81 \sqrt{6}}{2} - 57 \sqrt{6} \cdot \frac{2}{2} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.26

Associez $- 57 \sqrt{6}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 81 \sqrt{6}}{2} + \frac{- 57 \sqrt{6} \cdot 2}{2} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 81 \sqrt{6} - 57 \sqrt{6} \cdot 2}{2} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.28

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.1.28.1

Multipliez $2$ par $- 57$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 81 \sqrt{6} - 114 \sqrt{6}}{2} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.28.2

Soustrayez $114 \sqrt{6}$ de $81 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.29

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.29.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4 - \sqrt{6}}{2})}^{2}) {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.29.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 - \sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(4 - \sqrt{6})}^{2}}{2^{2}})) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.30

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (1 (\frac{{(4 - \sqrt{6})}^{2}}{2^{2}})) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.31

Multipliez $\frac{{(4 - \sqrt{6})}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{{(4 - \sqrt{6})}^{2}}{2^{2}}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.32

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{{(4 - \sqrt{6})}^{2}}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.33

Réécrivez ${(4 - \sqrt{6})}^{2}$ comme $(4 - \sqrt{6}) (4 - \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{(4 - \sqrt{6}) (4 - \sqrt{6})}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.34

Développez $(4 - \sqrt{6}) (4 - \sqrt{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.2.1.34.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{4 (4 - \sqrt{6}) - \sqrt{6} (4 - \sqrt{6})}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.34.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} (4 - \sqrt{6})}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.34.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \cdot 4 - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.35

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.2.1.35.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.35.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{16 + 4 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \cdot 4 - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.35.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{16 - 4 \sqrt{6} - \sqrt{6} \cdot 4 - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.35.1.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} - \sqrt{6} (- \sqrt{6})}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.35.1.4

Multipliez $- \sqrt{6} (- \sqrt{6})$ .

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Étape 15.2.1.35.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 1 \sqrt{6} \sqrt{6}}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.35.1.4.2

Multipliez $\sqrt{6}$ par $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.35.1.4.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.35.1.4.4

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.35.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + {\sqrt{6}}^{1 + 1}}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.35.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + {\sqrt{6}}^{2}}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.35.1.5

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 15.2.1.35.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.35.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.35.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 6^{\frac{2}{2}}}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.35.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.35.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 6^{\frac{2}{2}}}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.35.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 6}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.35.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{16 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6} + 6}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.35.2

Additionnez $16$ et $6$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{22 - 4 \sqrt{6} - 4 \sqrt{6}}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.35.3

Soustrayez $4 \sqrt{6}$ de $- 4 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{22 - 8 \sqrt{6}}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.36

Annulez le facteur commun à $22 - 8 \sqrt{6}$ et $4$ .

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Étape 15.2.1.36.1

Factorisez $2$ à partir de $22$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{2 (11) - 8 \sqrt{6}}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.36.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{2 (11) + 2 (- 4 \sqrt{6})}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.36.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (11) + 2 (- 4 \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{2 (11 - 4 \sqrt{6})}{4}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.36.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.36.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{2 (11 - 4 \sqrt{6})}{2 \cdot 2}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.36.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{2 (11 - 4 \sqrt{6})}{2 \cdot 2}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.36.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{11 - 4 \sqrt{6}}{2}) \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.37

Associez $3$ et $\frac{11 - 4 \sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6})}{2} \cdot {((- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 15.2.1.38

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6})}{2} \cdot {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Étape 15.2.1.39

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6})}{2} \cdot {(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{2}$

Étape 15.2.1.40

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6})}{2} \cdot {(\frac{- (4 - \sqrt{6}) + 5 \cdot 2}{2})}^{2}$

Étape 15.2.1.41

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.1.41.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6})}{2} \cdot {(\frac{- 1 \cdot 4 + \sqrt{6} + 5 \cdot 2}{2})}^{2}$

Étape 15.2.1.41.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6})}{2} \cdot {(\frac{- 4 + \sqrt{6} + 5 \cdot 2}{2})}^{2}$

Étape 15.2.1.41.3

Multipliez $- - \sqrt{6}$ .

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Étape 15.2.1.41.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6})}{2} \cdot {(\frac{- 4 + 1 \sqrt{6} + 5 \cdot 2}{2})}^{2}$

Étape 15.2.1.41.3.2

Multipliez $\sqrt{6}$ par $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6})}{2} \cdot {(\frac{- 4 + \sqrt{6} + 5 \cdot 2}{2})}^{2}$

Étape 15.2.1.41.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6})}{2} \cdot {(\frac{- 4 + \sqrt{6} + 10}{2})}^{2}$

Étape 15.2.1.41.5

Additionnez $- 4$ et $10$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6})}{2} \cdot {(\frac{6 + \sqrt{6}}{2})}^{2}$

Étape 15.2.1.42

Appliquez la règle de produit à $\frac{6 + \sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6})}{2} \cdot \frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 15.2.1.43

Associez.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6}) {(6 + \sqrt{6})}^{2}}{2 \cdot 2^{2}}$

Étape 15.2.1.44

Multipliez $2$ par $2^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.2.1.44.1

Multipliez $2$ par $2^{2}$ .

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Étape 15.2.1.44.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6}) {(6 + \sqrt{6})}^{2}}{2 \cdot 2^{2}}$

Étape 15.2.1.44.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6}) {(6 + \sqrt{6})}^{2}}{2^{1 + 2}}$

Étape 15.2.1.44.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6}) {(6 + \sqrt{6})}^{2}}{2^{3}}$

Étape 15.2.1.45

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6}) {(6 + \sqrt{6})}^{2}}{8}$

Étape 15.2.1.46

Réécrivez ${(6 + \sqrt{6})}^{2}$ comme $(6 + \sqrt{6}) (6 + \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6}) ((6 + \sqrt{6}) (6 + \sqrt{6}))}{8}$

Étape 15.2.1.47

Développez $(6 + \sqrt{6}) (6 + \sqrt{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.2.1.47.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6}) (6 (6 + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (6 + \sqrt{6}))}{8}$

Étape 15.2.1.47.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6}) (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} (6 + \sqrt{6}))}{8}$

Étape 15.2.1.47.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6}) (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 6 + \sqrt{6} \sqrt{6})}{8}$

Étape 15.2.1.48

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.2.1.48.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.48.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6}) (36 + 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 6 + \sqrt{6} \sqrt{6})}{8}$

Étape 15.2.1.48.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $\sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6}) (36 + 6 \sqrt{6} + 6 \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6})}{8}$

Étape 15.2.1.48.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6}) (36 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + \sqrt{6 \cdot 6})}{8}$

Étape 15.2.1.48.1.4

Multipliez $6$ par $6$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6}) (36 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + \sqrt{36})}{8}$

Étape 15.2.1.48.1.5

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6}) (36 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + \sqrt{6^{2}})}{8}$

Étape 15.2.1.48.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6}) (36 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + 6)}{8}$

Étape 15.2.1.48.2

Additionnez $36$ et $6$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6}) (42 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6})}{8}$

Étape 15.2.1.48.3

Additionnez $6 \sqrt{6}$ et $6 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6}) (42 + 12 \sqrt{6})}{8}$

Étape 15.2.1.49

Annulez le facteur commun à $42 + 12 \sqrt{6}$ et $8$ .

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Étape 15.2.1.49.1

Factorisez $2$ à partir de $3 (11 - 4 \sqrt{6}) (42 + 12 \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{2 (3 (11 - 4 \sqrt{6}) (21 + 6 \sqrt{6}))}{8}$

Étape 15.2.1.49.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.49.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{2 (3 (11 - 4 \sqrt{6}) (21 + 6 \sqrt{6}))}{2 (4)}$

Étape 15.2.1.49.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{2 (3 (11 - 4 \sqrt{6}) (21 + 6 \sqrt{6}))}{2 \cdot 4}$

Étape 15.2.1.49.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 - 4 \sqrt{6}) (21 + 6 \sqrt{6})}{4}$

Étape 15.2.1.50

Regroupez $21 + 6 \sqrt{6}$ et $11 - 4 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 ((21 + 6 \sqrt{6}) (11 - 4 \sqrt{6}))}{4}$

Étape 15.2.1.51

Développez $(21 + 6 \sqrt{6}) (11 - 4 \sqrt{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.2.1.51.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (21 (11 - 4 \sqrt{6}) + 6 \sqrt{6} (11 - 4 \sqrt{6}))}{4}$

Étape 15.2.1.51.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (21 \cdot 11 + 21 (- 4 \sqrt{6}) + 6 \sqrt{6} (11 - 4 \sqrt{6}))}{4}$

Étape 15.2.1.51.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (21 \cdot 11 + 21 (- 4 \sqrt{6}) + 6 \sqrt{6} \cdot 11 + 6 \sqrt{6} (- 4 \sqrt{6}))}{4}$

Étape 15.2.1.52

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.2.1.52.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.52.1.1

Multipliez $21$ par $11$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 + 21 (- 4 \sqrt{6}) + 6 \sqrt{6} \cdot 11 + 6 \sqrt{6} (- 4 \sqrt{6}))}{4}$

Étape 15.2.1.52.1.2

Multipliez $- 4$ par $21$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 - 84 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} \cdot 11 + 6 \sqrt{6} (- 4 \sqrt{6}))}{4}$

Étape 15.2.1.52.1.3

Multipliez $11$ par $6$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 - 84 \sqrt{6} + 66 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} (- 4 \sqrt{6}))}{4}$

Étape 15.2.1.52.1.4

Multipliez $6 \sqrt{6} (- 4 \sqrt{6})$ .

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Étape 15.2.1.52.1.4.1

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 - 84 \sqrt{6} + 66 \sqrt{6} - 24 \sqrt{6} \sqrt{6})}{4}$

Étape 15.2.1.52.1.4.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 - 84 \sqrt{6} + 66 \sqrt{6} - 24 (\sqrt{6} \sqrt{6}))}{4}$

Étape 15.2.1.52.1.4.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 - 84 \sqrt{6} + 66 \sqrt{6} - 24 (\sqrt{6} \sqrt{6}))}{4}$

Étape 15.2.1.52.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 - 84 \sqrt{6} + 66 \sqrt{6} - 24 {\sqrt{6}}^{1 + 1})}{4}$

Étape 15.2.1.52.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 - 84 \sqrt{6} + 66 \sqrt{6} - 24 {\sqrt{6}}^{2})}{4}$

Étape 15.2.1.52.1.5

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 15.2.1.52.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 - 84 \sqrt{6} + 66 \sqrt{6} - 24 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2})}{4}$

Étape 15.2.1.52.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 - 84 \sqrt{6} + 66 \sqrt{6} - 24 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{4}$

Étape 15.2.1.52.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 - 84 \sqrt{6} + 66 \sqrt{6} - 24 \cdot 6^{\frac{2}{2}})}{4}$

Étape 15.2.1.52.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.52.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 - 84 \sqrt{6} + 66 \sqrt{6} - 24 \cdot 6^{\frac{2}{2}})}{4}$

Étape 15.2.1.52.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 - 84 \sqrt{6} + 66 \sqrt{6} - 24 \cdot 6)}{4}$

Étape 15.2.1.52.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 - 84 \sqrt{6} + 66 \sqrt{6} - 24 \cdot 6)}{4}$

Étape 15.2.1.52.1.6

Multipliez $- 24$ par $6$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 - 84 \sqrt{6} + 66 \sqrt{6} - 144)}{4}$

Étape 15.2.1.52.2

Soustrayez $144$ de $231$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (87 - 84 \sqrt{6} + 66 \sqrt{6})}{4}$

Étape 15.2.1.52.3

Additionnez $- 84 \sqrt{6}$ et $66 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (87 - 18 \sqrt{6})}{4}$

Étape 15.2.2

Pour écrire $\frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (87 - 18 \sqrt{6})}{4}$

Étape 15.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 15.2.3.1

Multipliez $\frac{- 153 - 33 \sqrt{6}}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{(- 153 - 33 \sqrt{6}) \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3 (87 - 18 \sqrt{6})}{4}$

Étape 15.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{(- 153 - 33 \sqrt{6}) \cdot 2}{4} + \frac{3 (87 - 18 \sqrt{6})}{4}$

Étape 15.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{(- 153 - 33 \sqrt{6}) \cdot 2 + 3 (87 - 18 \sqrt{6})}{4}$

Étape 15.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 \cdot 2 - 33 \sqrt{6} \cdot 2 + 3 (87 - 18 \sqrt{6})}{4}$

Étape 15.2.5.2

Multipliez $- 153$ par $2$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 306 - 33 \sqrt{6} \cdot 2 + 3 (87 - 18 \sqrt{6})}{4}$

Étape 15.2.5.3

Multipliez $2$ par $- 33$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 306 - 66 \sqrt{6} + 3 (87 - 18 \sqrt{6})}{4}$

Étape 15.2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 306 - 66 \sqrt{6} + 3 \cdot 87 + 3 (- 18 \sqrt{6})}{4}$

Étape 15.2.5.5

Multipliez $3$ par $87$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 306 - 66 \sqrt{6} + 261 + 3 (- 18 \sqrt{6})}{4}$

Étape 15.2.5.6

Multipliez $- 18$ par $3$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 306 - 66 \sqrt{6} + 261 - 54 \sqrt{6}}{4}$

Étape 15.2.5.7

Additionnez $- 306$ et $261$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 45 - 66 \sqrt{6} - 54 \sqrt{6}}{4}$

Étape 15.2.5.8

Soustrayez $54 \sqrt{6}$ de $- 66 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 45 - 120 \sqrt{6}}{4}$

Étape 15.2.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 15.2.6.1

Réécrivez $- 45$ comme $- 1 (45)$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 45 - 120 \sqrt{6}}{4}$

Étape 15.2.6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 120 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 45 - (120 \sqrt{6})}{4}$

Étape 15.2.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (45) - (120 \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 1 (45 + 120 \sqrt{6})}{4}$

Étape 15.2.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = - \frac{45 + 120 \sqrt{6}}{4}$

Étape 15.2.7

La réponse finale est $- \frac{45 + 120 \sqrt{6}}{4}$ .

$y = - \frac{45 + 120 \sqrt{6}}{4}$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{4 + \sqrt{6}}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$60 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 17.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}$ .

$60 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2}) + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 + \sqrt{6}}{2}$ .

$60 ({(- 1)}^{2} \frac{{(4 + \sqrt{6})}^{2}}{2^{2}}) + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$60 (1 \frac{{(4 + \sqrt{6})}^{2}}{2^{2}}) + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.3

Multipliez $\frac{{(4 + \sqrt{6})}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$60 \frac{{(4 + \sqrt{6})}^{2}}{2^{2}} + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$60 \frac{{(4 + \sqrt{6})}^{2}}{4} + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 17.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$4 (15) \frac{{(4 + \sqrt{6})}^{2}}{4} + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 15 \frac{{(4 + \sqrt{6})}^{2}}{4} + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$15 {(4 + \sqrt{6})}^{2} + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.6

Réécrivez ${(4 + \sqrt{6})}^{2}$ comme $(4 + \sqrt{6}) (4 + \sqrt{6})$ .

$15 ((4 + \sqrt{6}) (4 + \sqrt{6})) + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.7

Développez $(4 + \sqrt{6}) (4 + \sqrt{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 17.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$15 (4 (4 + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (4 + \sqrt{6})) + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$15 (4 \cdot 4 + 4 \sqrt{6} + \sqrt{6} (4 + \sqrt{6})) + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$15 (4 \cdot 4 + 4 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 4 + \sqrt{6} \sqrt{6}) + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 17.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.8.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$15 (16 + 4 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 4 + \sqrt{6} \sqrt{6}) + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.8.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $\sqrt{6}$ .

$15 (16 + 4 \sqrt{6} + 4 \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6}) + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.8.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$15 (16 + 4 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6} + \sqrt{6 \cdot 6}) + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.8.1.4

Multipliez $6$ par $6$ .

$15 (16 + 4 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6} + \sqrt{36}) + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.8.1.5

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$15 (16 + 4 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6} + \sqrt{6^{2}}) + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.8.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$15 (16 + 4 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6} + 6) + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.8.2

Additionnez $16$ et $6$ .

$15 (22 + 4 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6}) + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.8.3

Additionnez $4 \sqrt{6}$ et $4 \sqrt{6}$ .

$15 (22 + 8 \sqrt{6}) + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$15 \cdot 22 + 15 (8 \sqrt{6}) + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.10

Multipliez $15$ par $22$ .

$330 + 15 (8 \sqrt{6}) + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.11

Multipliez $8$ par $15$ .

$330 + 120 \sqrt{6} + 360 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 450$

Étape 17.1.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.1.12.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}$ dans le numérateur.

$330 + 120 \sqrt{6} + 360 \frac{- (4 + \sqrt{6})}{2} + 450$

Étape 17.1.12.2

Factorisez $2$ à partir de $360$ .

$330 + 120 \sqrt{6} + 2 (180) \frac{- (4 + \sqrt{6})}{2} + 450$

Étape 17.1.12.3

Annulez le facteur commun.

$330 + 120 \sqrt{6} + 2 \cdot 180 \frac{- (4 + \sqrt{6})}{2} + 450$

Étape 17.1.12.4

Réécrivez l’expression.

$330 + 120 \sqrt{6} + 180 (- (4 + \sqrt{6})) + 450$

Étape 17.1.13

Multipliez $- 1$ par $180$ .

$330 + 120 \sqrt{6} - 180 (4 + \sqrt{6}) + 450$

Étape 17.1.14

Appliquez la propriété distributive.

$330 + 120 \sqrt{6} - 180 \cdot 4 - 180 \sqrt{6} + 450$

Étape 17.1.15

Multipliez $- 180$ par $4$ .

$330 + 120 \sqrt{6} - 720 - 180 \sqrt{6} + 450$

Étape 17.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 17.2.1

Soustrayez $720$ de $330$ .

$- 390 + 120 \sqrt{6} - 180 \sqrt{6} + 450$

Étape 17.2.2

Additionnez $- 390$ et $450$ .

$60 + 120 \sqrt{6} - 180 \sqrt{6}$

Étape 17.2.3

Soustrayez $180 \sqrt{6}$ de $120 \sqrt{6}$ .

$60 - 60 \sqrt{6}$

Étape 18

$x = - \frac{4 + \sqrt{6}}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{4 + \sqrt{6}}{2}$ est un maximum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{4 + \sqrt{6}}{2}$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = 2 (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{3} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = 2 (\frac{- (4 + \sqrt{6})}{2}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{3} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = 2 (\frac{- (4 + \sqrt{6})}{2}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{3} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - (4 + \sqrt{6}) {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{3} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 1 \cdot 4 - \sqrt{6}) {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{3} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{3} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.4

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.5

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) {(\frac{- (4 + \sqrt{6}) + 5 \cdot 2}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.2.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) {(\frac{- 1 \cdot 4 - \sqrt{6} + 5 \cdot 2}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.7.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) {(\frac{- 4 - \sqrt{6} + 5 \cdot 2}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.7.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) {(\frac{- 4 - \sqrt{6} + 10}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.7.4

Additionnez $- 4$ et $10$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) {(\frac{6 - \sqrt{6}}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{6 - \sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{3}}{2^{3}}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.9

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.10

Utilisez le théorème du binôme.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{6^{3} + 3 \cdot (6^{2} (- \sqrt{6})) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.11.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 + 3 \cdot (6^{2} (- \sqrt{6})) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 + 3 \cdot (36 (- \sqrt{6})) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11.3

Multipliez $3$ par $36$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 + 108 (- \sqrt{6}) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11.4

Multipliez $- 1$ par $108$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 - 108 \sqrt{6} + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11.5

Multipliez $3$ par $6$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 {(- \sqrt{6})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{6}}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 (1 {\sqrt{6}}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11.8

Multipliez ${\sqrt{6}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 {\sqrt{6}}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11.9

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 19.2.1.11.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.11.9.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 19.2.1.11.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6 + {(- \sqrt{6})}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11.9.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6 + {(- \sqrt{6})}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11.10

Multipliez $18$ par $6$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 + {(- \sqrt{6})}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11.11

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{6}}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - {\sqrt{6}}^{3}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11.13

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{3}$ comme $\sqrt{6^{3}}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - \sqrt{6^{3}}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11.14

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - \sqrt{216}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11.15

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

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Étape 19.2.1.11.15.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - \sqrt{36 (6)}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11.15.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - (6 \sqrt{6})}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.11.17

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - 6 \sqrt{6}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.12

Additionnez $216$ et $108$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{324 - 108 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.13

Soustrayez $6 \sqrt{6}$ de $- 108 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{324 - 114 \sqrt{6}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.14

Annulez le facteur commun à $324 - 114 \sqrt{6}$ et $8$ .

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Étape 19.2.1.14.1

Factorisez $2$ à partir de $324$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{2 (162) - 114 \sqrt{6}}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.14.2

Factorisez $2$ à partir de $- 114 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{2 (162) + 2 (- 57 \sqrt{6})}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.14.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (162) + 2 (- 57 \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{2 (162 - 57 \sqrt{6})}{8}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.14.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.1.14.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{2 (162 - 57 \sqrt{6})}{2 \cdot 4}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.14.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{2 (162 - 57 \sqrt{6})}{2 \cdot 4}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.14.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = (- 4 - \sqrt{6}) (\frac{162 - 57 \sqrt{6}}{4}) + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.15

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 4 \frac{162 - 57 \sqrt{6}}{4} - \sqrt{6} \frac{162 - 57 \sqrt{6}}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.16

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 19.2.1.16.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = 4 (- 1) (\frac{162 - 57 \sqrt{6}}{4}) - \sqrt{6} \frac{162 - 57 \sqrt{6}}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.16.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = 4 \cdot (- 1 \frac{162 - 57 \sqrt{6}}{4}) - \sqrt{6} \frac{162 - 57 \sqrt{6}}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.16.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 1 (162 - 57 \sqrt{6}) - \sqrt{6} \frac{162 - 57 \sqrt{6}}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.17

Associez $\frac{162 - 57 \sqrt{6}}{4}$ et $\sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 1 (162 - 57 \sqrt{6}) - \frac{(162 - 57 \sqrt{6}) \sqrt{6}}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.18

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 1 \cdot 162 - 1 (- 57 \sqrt{6}) - \frac{(162 - 57 \sqrt{6}) \sqrt{6}}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.18.2

Multipliez $- 1$ par $162$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 162 - 1 (- 57 \sqrt{6}) - \frac{(162 - 57 \sqrt{6}) \sqrt{6}}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.18.3

Multipliez $- 57$ par $- 1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 162 + 57 \sqrt{6} - \frac{(162 - 57 \sqrt{6}) \sqrt{6}}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.18.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 162 + 57 \sqrt{6} - \frac{162 \sqrt{6} - 57 \sqrt{6} \sqrt{6}}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.18.5

Multipliez $- 57 \sqrt{6} \sqrt{6}$ .

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Étape 19.2.1.18.5.1

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 162 + 57 \sqrt{6} - \frac{162 \sqrt{6} - 57 (\sqrt{6} \sqrt{6})}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.18.5.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 162 + 57 \sqrt{6} - \frac{162 \sqrt{6} - 57 (\sqrt{6} \sqrt{6})}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.18.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 162 + 57 \sqrt{6} - \frac{162 \sqrt{6} - 57 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.18.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 162 + 57 \sqrt{6} - \frac{162 \sqrt{6} - 57 {\sqrt{6}}^{2}}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.18.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.18.6.1

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 19.2.1.18.6.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 162 + 57 \sqrt{6} - \frac{162 \sqrt{6} - 57 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.18.6.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 162 + 57 \sqrt{6} - \frac{162 \sqrt{6} - 57 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.18.6.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 162 + 57 \sqrt{6} - \frac{162 \sqrt{6} - 57 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.18.6.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.18.6.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 162 + 57 \sqrt{6} - \frac{162 \sqrt{6} - 57 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.18.6.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 162 + 57 \sqrt{6} - \frac{162 \sqrt{6} - 57 \cdot 6}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.18.6.1.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 162 + 57 \sqrt{6} - \frac{162 \sqrt{6} - 57 \cdot 6}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.18.6.2

Multipliez $- 57$ par $6$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 162 + 57 \sqrt{6} - \frac{162 \sqrt{6} - 342}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.18.7

Annulez le facteur commun à $162 \sqrt{6} - 342$ et $4$ .

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Étape 19.2.1.18.7.1

Factorisez $2$ à partir de $162 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 162 + 57 \sqrt{6} - \frac{2 (81 \sqrt{6}) - 342}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.18.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 342$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 162 + 57 \sqrt{6} - \frac{2 (81 \sqrt{6}) + 2 (- 171)}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.18.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (81 \sqrt{6}) + 2 (- 171)$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 162 + 57 \sqrt{6} - \frac{2 (81 \sqrt{6} - 171)}{4} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.18.7.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.1.18.7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 162 + 57 \sqrt{6} - \frac{2 (81 \sqrt{6} - 171)}{2 (2)} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.18.7.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 162 + 57 \sqrt{6} - \frac{2 (81 \sqrt{6} - 171)}{2 \cdot 2} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.18.7.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 162 + 57 \sqrt{6} - \frac{81 \sqrt{6} - 171}{2} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.19

Pour écrire $- 162$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - 162 \cdot \frac{2}{2} - \frac{81 \sqrt{6} - 171}{2} + 57 \sqrt{6} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.20

Associez $- 162$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 162 \cdot 2}{2} - \frac{81 \sqrt{6} - 171}{2} + 57 \sqrt{6} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 162 \cdot 2 - (81 \sqrt{6} - 171)}{2} + 57 \sqrt{6} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.22

Multipliez $- 162$ par $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 324 - (81 \sqrt{6} - 171)}{2} + 57 \sqrt{6} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.2.1.23.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 324 - (81 \sqrt{6}) + 171}{2} + 57 \sqrt{6} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.23.2

Multipliez $81$ par $- 1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 324 - 81 \sqrt{6} + 171}{2} + 57 \sqrt{6} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.23.3

Multipliez $- 1$ par $- 171$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 324 - 81 \sqrt{6} + 171}{2} + 57 \sqrt{6} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.23.4

Additionnez $- 324$ et $171$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 81 \sqrt{6}}{2} + 57 \sqrt{6} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.24

Pour écrire $57 \sqrt{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 81 \sqrt{6}}{2} + 57 \sqrt{6} \cdot \frac{2}{2} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.25

Associez $57 \sqrt{6}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 81 \sqrt{6}}{2} + \frac{57 \sqrt{6} \cdot 2}{2} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 81 \sqrt{6} + 57 \sqrt{6} \cdot 2}{2} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.27

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.2.1.27.1

Multipliez $2$ par $57$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 - 81 \sqrt{6} + 114 \sqrt{6}}{2} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.27.2

Additionnez $- 81 \sqrt{6}$ et $114 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2} {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.28

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 19.2.1.28.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4 + \sqrt{6}}{2})}^{2}) {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.28.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4 + \sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(4 + \sqrt{6})}^{2}}{2^{2}})) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.29

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (1 (\frac{{(4 + \sqrt{6})}^{2}}{2^{2}})) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.30

Multipliez $\frac{{(4 + \sqrt{6})}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{{(4 + \sqrt{6})}^{2}}{2^{2}}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.31

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{{(4 + \sqrt{6})}^{2}}{4}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.32

Réécrivez ${(4 + \sqrt{6})}^{2}$ comme $(4 + \sqrt{6}) (4 + \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{(4 + \sqrt{6}) (4 + \sqrt{6})}{4}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.33

Développez $(4 + \sqrt{6}) (4 + \sqrt{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 19.2.1.33.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{4 (4 + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (4 + \sqrt{6})}{4}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.33.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{6} + \sqrt{6} (4 + \sqrt{6})}{4}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.33.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 4 + \sqrt{6} \sqrt{6}}{4}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.34

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 19.2.1.34.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.34.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{16 + 4 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 4 + \sqrt{6} \sqrt{6}}{4}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.34.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $\sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{16 + 4 \sqrt{6} + 4 \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6}}{4}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.34.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{16 + 4 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6} + \sqrt{6 \cdot 6}}{4}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.34.1.4

Multipliez $6$ par $6$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{16 + 4 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6} + \sqrt{36}}{4}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.34.1.5

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{16 + 4 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6} + \sqrt{6^{2}}}{4}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.34.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{16 + 4 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6} + 6}{4}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.34.2

Additionnez $16$ et $6$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{22 + 4 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6}}{4}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.34.3

Additionnez $4 \sqrt{6}$ et $4 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{22 + 8 \sqrt{6}}{4}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.35

Annulez le facteur commun à $22 + 8 \sqrt{6}$ et $4$ .

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Étape 19.2.1.35.1

Factorisez $2$ à partir de $22$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{2 (11) + 8 \sqrt{6}}{4}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.35.2

Factorisez $2$ à partir de $8 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{2 (11) + 2 (4 \sqrt{6})}{4}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.35.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (11) + 2 (4 \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{2 (11 + 4 \sqrt{6})}{4}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.35.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.1.35.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{2 (11 + 4 \sqrt{6})}{2 \cdot 2}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.35.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{2 (11 + 4 \sqrt{6})}{2 \cdot 2}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.35.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + 3 (\frac{11 + 4 \sqrt{6}}{2}) \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.36

Associez $3$ et $\frac{11 + 4 \sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6})}{2} \cdot {((- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) + 5)}^{2}$

Étape 19.2.1.37

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6})}{2} \cdot {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2}$

Étape 19.2.1.38

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6})}{2} \cdot {(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{2}$

Étape 19.2.1.39

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6})}{2} \cdot {(\frac{- (4 + \sqrt{6}) + 5 \cdot 2}{2})}^{2}$

Étape 19.2.1.40

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.2.1.40.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6})}{2} \cdot {(\frac{- 1 \cdot 4 - \sqrt{6} + 5 \cdot 2}{2})}^{2}$

Étape 19.2.1.40.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6})}{2} \cdot {(\frac{- 4 - \sqrt{6} + 5 \cdot 2}{2})}^{2}$

Étape 19.2.1.40.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6})}{2} \cdot {(\frac{- 4 - \sqrt{6} + 10}{2})}^{2}$

Étape 19.2.1.40.4

Additionnez $- 4$ et $10$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6})}{2} \cdot {(\frac{6 - \sqrt{6}}{2})}^{2}$

Étape 19.2.1.41

Appliquez la règle de produit à $\frac{6 - \sqrt{6}}{2}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6})}{2} \cdot \frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 19.2.1.42

Associez.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) {(6 - \sqrt{6})}^{2}}{2 \cdot 2^{2}}$

Étape 19.2.1.43

Multipliez $2$ par $2^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 19.2.1.43.1

Multipliez $2$ par $2^{2}$ .

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Étape 19.2.1.43.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) {(6 - \sqrt{6})}^{2}}{2 \cdot 2^{2}}$

Étape 19.2.1.43.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) {(6 - \sqrt{6})}^{2}}{2^{1 + 2}}$

Étape 19.2.1.43.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) {(6 - \sqrt{6})}^{2}}{2^{3}}$

Étape 19.2.1.44

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) {(6 - \sqrt{6})}^{2}}{8}$

Étape 19.2.1.45

Réécrivez ${(6 - \sqrt{6})}^{2}$ comme $(6 - \sqrt{6}) (6 - \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) ((6 - \sqrt{6}) (6 - \sqrt{6}))}{8}$

Étape 19.2.1.46

Développez $(6 - \sqrt{6}) (6 - \sqrt{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1.46.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) (6 (6 - \sqrt{6}) - \sqrt{6} (6 - \sqrt{6}))}{8}$

Étape 19.2.1.46.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) (6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} (6 - \sqrt{6}))}{8}$

Étape 19.2.1.46.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) (6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \cdot 6 - \sqrt{6} (- \sqrt{6}))}{8}$

Étape 19.2.1.47

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 19.2.1.47.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.47.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) (36 + 6 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \cdot 6 - \sqrt{6} (- \sqrt{6}))}{8}$

Étape 19.2.1.47.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) (36 - 6 \sqrt{6} - \sqrt{6} \cdot 6 - \sqrt{6} (- \sqrt{6}))}{8}$

Étape 19.2.1.47.1.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} - \sqrt{6} (- \sqrt{6}))}{8}$

Étape 19.2.1.47.1.4

Multipliez $- \sqrt{6} (- \sqrt{6})$ .

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Étape 19.2.1.47.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 1 \sqrt{6} \sqrt{6})}{8}$

Étape 19.2.1.47.1.4.2

Multipliez $\sqrt{6}$ par $1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6})}{8}$

Étape 19.2.1.47.1.4.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6})}{8}$

Étape 19.2.1.47.1.4.4

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6})}{8}$

Étape 19.2.1.47.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + {\sqrt{6}}^{1 + 1})}{8}$

Étape 19.2.1.47.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + {\sqrt{6}}^{2})}{8}$

Étape 19.2.1.47.1.5

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 19.2.1.47.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2})}{8}$

Étape 19.2.1.47.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{8}$

Étape 19.2.1.47.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 6^{\frac{2}{2}})}{8}$

Étape 19.2.1.47.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.47.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 6^{\frac{2}{2}})}{8}$

Étape 19.2.1.47.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 6)}{8}$

Étape 19.2.1.47.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 6)}{8}$

Étape 19.2.1.47.2

Additionnez $36$ et $6$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) (42 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6})}{8}$

Étape 19.2.1.47.3

Soustrayez $6 \sqrt{6}$ de $- 6 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) (42 - 12 \sqrt{6})}{8}$

Étape 19.2.1.48

Annulez le facteur commun à $42 - 12 \sqrt{6}$ et $8$ .

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Étape 19.2.1.48.1

Factorisez $2$ à partir de $3 (11 + 4 \sqrt{6}) (42 - 12 \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{2 (3 (11 + 4 \sqrt{6}) (21 - 6 \sqrt{6}))}{8}$

Étape 19.2.1.48.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.1.48.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{2 (3 (11 + 4 \sqrt{6}) (21 - 6 \sqrt{6}))}{2 (4)}$

Étape 19.2.1.48.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{2 (3 (11 + 4 \sqrt{6}) (21 - 6 \sqrt{6}))}{2 \cdot 4}$

Étape 19.2.1.48.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (11 + 4 \sqrt{6}) (21 - 6 \sqrt{6})}{4}$

Étape 19.2.1.49

Regroupez $21 - 6 \sqrt{6}$ et $11 + 4 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 ((21 - 6 \sqrt{6}) (11 + 4 \sqrt{6}))}{4}$

Étape 19.2.1.50

Développez $(21 - 6 \sqrt{6}) (11 + 4 \sqrt{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 19.2.1.50.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (21 (11 + 4 \sqrt{6}) - 6 \sqrt{6} (11 + 4 \sqrt{6}))}{4}$

Étape 19.2.1.50.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (21 \cdot 11 + 21 (4 \sqrt{6}) - 6 \sqrt{6} (11 + 4 \sqrt{6}))}{4}$

Étape 19.2.1.50.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (21 \cdot 11 + 21 (4 \sqrt{6}) - 6 \sqrt{6} \cdot 11 - 6 \sqrt{6} (4 \sqrt{6}))}{4}$

Étape 19.2.1.51

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 19.2.1.51.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.51.1.1

Multipliez $21$ par $11$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 + 21 (4 \sqrt{6}) - 6 \sqrt{6} \cdot 11 - 6 \sqrt{6} (4 \sqrt{6}))}{4}$

Étape 19.2.1.51.1.2

Multipliez $4$ par $21$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 + 84 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} \cdot 11 - 6 \sqrt{6} (4 \sqrt{6}))}{4}$

Étape 19.2.1.51.1.3

Multipliez $11$ par $- 6$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 + 84 \sqrt{6} - 66 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} (4 \sqrt{6}))}{4}$

Étape 19.2.1.51.1.4

Multipliez $- 6 \sqrt{6} (4 \sqrt{6})$ .

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Étape 19.2.1.51.1.4.1

Multipliez $4$ par $- 6$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 + 84 \sqrt{6} - 66 \sqrt{6} - 24 \sqrt{6} \sqrt{6})}{4}$

Étape 19.2.1.51.1.4.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 + 84 \sqrt{6} - 66 \sqrt{6} - 24 (\sqrt{6} \sqrt{6}))}{4}$

Étape 19.2.1.51.1.4.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 + 84 \sqrt{6} - 66 \sqrt{6} - 24 (\sqrt{6} \sqrt{6}))}{4}$

Étape 19.2.1.51.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 + 84 \sqrt{6} - 66 \sqrt{6} - 24 {\sqrt{6}}^{1 + 1})}{4}$

Étape 19.2.1.51.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 + 84 \sqrt{6} - 66 \sqrt{6} - 24 {\sqrt{6}}^{2})}{4}$

Étape 19.2.1.51.1.5

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 19.2.1.51.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 + 84 \sqrt{6} - 66 \sqrt{6} - 24 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2})}{4}$

Étape 19.2.1.51.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 + 84 \sqrt{6} - 66 \sqrt{6} - 24 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{4}$

Étape 19.2.1.51.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 + 84 \sqrt{6} - 66 \sqrt{6} - 24 \cdot 6^{\frac{2}{2}})}{4}$

Étape 19.2.1.51.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.51.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 + 84 \sqrt{6} - 66 \sqrt{6} - 24 \cdot 6^{\frac{2}{2}})}{4}$

Étape 19.2.1.51.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 + 84 \sqrt{6} - 66 \sqrt{6} - 24 \cdot 6)}{4}$

Étape 19.2.1.51.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 + 84 \sqrt{6} - 66 \sqrt{6} - 24 \cdot 6)}{4}$

Étape 19.2.1.51.1.6

Multipliez $- 24$ par $6$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (231 + 84 \sqrt{6} - 66 \sqrt{6} - 144)}{4}$

Étape 19.2.1.51.2

Soustrayez $144$ de $231$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (87 + 84 \sqrt{6} - 66 \sqrt{6})}{4}$

Étape 19.2.1.51.3

Soustrayez $66 \sqrt{6}$ de $84 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} + \frac{3 (87 + 18 \sqrt{6})}{4}$

Étape 19.2.2

Pour écrire $\frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (87 + 18 \sqrt{6})}{4}$

Étape 19.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 19.2.3.1

Multipliez $\frac{- 153 + 33 \sqrt{6}}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{(- 153 + 33 \sqrt{6}) \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3 (87 + 18 \sqrt{6})}{4}$

Étape 19.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{(- 153 + 33 \sqrt{6}) \cdot 2}{4} + \frac{3 (87 + 18 \sqrt{6})}{4}$

Étape 19.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{(- 153 + 33 \sqrt{6}) \cdot 2 + 3 (87 + 18 \sqrt{6})}{4}$

Étape 19.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 153 \cdot 2 + 33 \sqrt{6} \cdot 2 + 3 (87 + 18 \sqrt{6})}{4}$

Étape 19.2.5.2

Multipliez $- 153$ par $2$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 306 + 33 \sqrt{6} \cdot 2 + 3 (87 + 18 \sqrt{6})}{4}$

Étape 19.2.5.3

Multipliez $2$ par $33$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 306 + 66 \sqrt{6} + 3 (87 + 18 \sqrt{6})}{4}$

Étape 19.2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 306 + 66 \sqrt{6} + 3 \cdot 87 + 3 (18 \sqrt{6})}{4}$

Étape 19.2.5.5

Multipliez $3$ par $87$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 306 + 66 \sqrt{6} + 261 + 3 (18 \sqrt{6})}{4}$

Étape 19.2.5.6

Multipliez $18$ par $3$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 306 + 66 \sqrt{6} + 261 + 54 \sqrt{6}}{4}$

Étape 19.2.5.7

Additionnez $- 306$ et $261$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 45 + 66 \sqrt{6} + 54 \sqrt{6}}{4}$

Étape 19.2.5.8

Additionnez $66 \sqrt{6}$ et $54 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 45 + 120 \sqrt{6}}{4}$

Étape 19.2.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 19.2.6.1

Réécrivez $- 45$ comme $- 1 (45)$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 45 + 120 \sqrt{6}}{4}$

Étape 19.2.6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $120 \sqrt{6}$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 45 - (- 120 \sqrt{6})}{4}$

Étape 19.2.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (45) - (- 120 \sqrt{6})$ .

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = \frac{- 1 (45 - 120 \sqrt{6})}{4}$

Étape 19.2.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}) = - \frac{45 - 120 \sqrt{6}}{4}$

Étape 19.2.7

La réponse finale est $- \frac{45 - 120 \sqrt{6}}{4}$ .

$y = - \frac{45 - 120 \sqrt{6}}{4}$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 x {(x + 5)}^{3} + 3 x^{2} {(x + 5)}^{2}$ .

$(- 5, 0)$ est un minimum local

$(- \frac{4 - \sqrt{6}}{2}, - \frac{45 + 120 \sqrt{6}}{4})$ est un minimum local

$(- \frac{4 + \sqrt{6}}{2}, - \frac{45 - 120 \sqrt{6}}{4})$ est un maximum local

Étape 21