Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x - \sqrt{16 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \sqrt{16 - x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$ .

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Étape 1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{16 - x^{2}}$ comme ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 16 - x^{2}$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $16 - x^{2}$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 - x^{2}])$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}])$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $16 - x^{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}])$

Étape 1.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Étape 1.3.5

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Étape 1.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))$

Étape 1.3.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))$

Étape 1.3.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Étape 1.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Étape 1.3.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Étape 1.3.11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))$

Étape 1.3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))$

Étape 1.3.13

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))$

Étape 1.3.14

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))$

Étape 1.3.15

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 - (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x))$

Étape 1.3.16

Associez $- 2$ et $\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 - (\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)$

Étape 1.3.17

Associez $\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$2 - \frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

Étape 1.3.18

Placez ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - \frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$2 - \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 - \frac{2 (- x)}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.3.20.2

Annulez le facteur commun.

$2 - \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.20.3

Réécrivez l’expression.

$2 - \frac{- x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 - - \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.22

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 + 1 \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.23

Multipliez $\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$2 + \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 16 - x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $16 - x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (16 - x^{2}))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2}))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $16 - x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (16 - x^{2}))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (16) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.5

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x^{2})))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.8

Multipliez ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.12.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.12.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x))))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.14

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x)))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.15

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot ({(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x)))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.16

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (- 2 x))}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.17

Associez $- 2$ et $\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot x)}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.18

Associez $\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.19

Placez ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.20

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.21

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.21.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.21.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.21.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.22

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (- \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.23

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 x (\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.24

Multipliez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x (\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.25

Associez $x$ et $\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.26

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.27

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.28

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 + 1}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.29

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.30

Pour écrire ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.31

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.32

Multipliez ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.32.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.32.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.32.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(16 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} + x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.32.4

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(16 - x^{2}) + x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.33

Simplifiez ${(16 - x^{2})}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{16 - x^{2} + x^{2}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.34

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{16 + 0}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.35

Additionnez $16$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.36

Multipliez les exposants dans ${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.36.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.36.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.36.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.36.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{16 - x^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.37

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{16 - x^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.38

Réécrivez $\frac{\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{16 - x^{2}}$ comme un produit.

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{16 - x^{2}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.39

Multipliez $\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{16 - x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (16 - x^{2})} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.40

Multipliez ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $16 - x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.40.1

Multipliez ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $16 - x^{2}$ .

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Étape 2.2.40.1.1

Élevez $16 - x^{2}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (16 - x^{2})} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.40.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.40.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.40.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.2.40.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Additionnez $\frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{16}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \sqrt{16 - x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x^{2}}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{16 - x^{2}}$ comme ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 16 - x^{2}$ .

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Étape 4.1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $16 - x^{2}$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 - x^{2}])$

Étape 4.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}])$

Étape 4.1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $16 - x^{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}])$

Étape 4.1.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Étape 4.1.3.5

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Étape 4.1.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 4.1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))$

Étape 4.1.3.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))$

Étape 4.1.3.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Étape 4.1.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Étape 4.1.3.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.3.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Étape 4.1.3.11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))$

Étape 4.1.3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))$

Étape 4.1.3.13

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))$

Étape 4.1.3.14

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$2 - (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))$

Étape 4.1.3.15

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 - (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x))$

Étape 4.1.3.16

Associez $- 2$ et $\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 - (\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)$

Étape 4.1.3.17

Associez $\frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$2 - \frac{- 2 {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

Étape 4.1.3.18

Placez ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - \frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.19

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$2 - \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.3.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 - \frac{2 (- x)}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.1.3.20.2

Annulez le facteur commun.

$2 - \frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.20.3

Réécrivez l’expression.

$2 - \frac{- x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 - - \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.22

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 + 1 \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.23

Multipliez $\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$2 + \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2$ .

$\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 = 0$

Étape 5.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 3.57770876$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{x}{\sqrt{{(16 - x^{2})}^{1}}} + 2$

Étape 6.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}} + 2$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{16 - x^{2}} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{16 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{16 - x^{2}}$ comme ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(16 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Simplifiez

$16 - x^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$16 - x^{2} = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 16$

Étape 6.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 16$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 16$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 6.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 6.3.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Étape 6.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.3.1

Divisez $- 16$ par $- 1$ .

$x^{2} = 16$

Étape 6.3.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{16}$

Étape 6.3.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 6.3.3.4.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Étape 6.3.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

Étape 6.3.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.3.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

Étape 6.3.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

Étape 6.3.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$

Étape 6.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{16 - x^{2}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$16 - x^{2} < 0$

Étape 6.5

Résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} < - 16$

Étape 6.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 16$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 16$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 16}{- 1}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 16}{- 1}$

Étape 6.5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} > \frac{- 16}{- 1}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.3.1

Divisez $- 16$ par $- 1$ .

$x^{2} > 16$

Étape 6.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{16}$

Étape 6.5.4

Simplifiez l’équation.

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Étape 6.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > \sqrt{16}$

Étape 6.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{16}$ .

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Étape 6.5.4.2.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$| x | > \sqrt{4^{2}}$

Étape 6.5.4.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > | 4 |$

Étape 6.5.4.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$| x | > 4$

Étape 6.5.5

Écrivez $| x | > 4$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 6.5.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 6.5.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x > 4$

Étape 6.5.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 6.5.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x > 4$

Étape 6.5.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x > 4 & x \geq 0 \\ - x > 4 & x < 0 \end{cases}$

Étape 6.5.6

Déterminez l’intersection de $x > 4$ et $x \geq 0$ .

$x > 4$

Étape 6.5.7

Divisez chaque terme dans $- x > 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.5.7.1

Divisez chaque terme dans $- x > 4$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{4}{- 1}$

Étape 6.5.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} < \frac{4}{- 1}$

Étape 6.5.7.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{4}{- 1}$

Étape 6.5.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.7.3.1

Divisez $4$ par $- 1$ .

$x < - 4$

Étape 6.5.8

Déterminez l’union des solutions.

$x < - 4$ ou $x > 4$

Étape 6.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq - 4, x \geq 4$

$(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

$x \leq - 4, x \geq 4$

$(- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 3.57770876, - 4, 4$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 3.57770876$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{16}{{(- {(- 3.57770876)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1.1

Élevez $- 3.57770876$ à la puissance $2$ .

$\frac{16}{{(- 1 \cdot 12.8 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $12.8$ .

$\frac{16}{{(- 12.8 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.2

Additionnez $- 12.8$ et $16$ .

$\frac{16}{{3.19999999}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.3

Réécrivez $3.19999999$ comme ${1.78885438}^{2}$ .

$\frac{16}{{({1.78885438}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{{1.78885438}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 9.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16}{{1.78885438}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 9.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{16}{{1.78885438}^{3}}$

Étape 9.1.6

Élevez $1.78885438$ à la puissance $3$ .

$\frac{16}{5.72433402}$

Étape 9.2

Divisez $16$ par $5.72433402$ .

$2.79508497$

Étape 10

$x = - 3.57770876$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 3.57770876$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 3.57770876$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3.57770876$ dans l’expression.

$f (- 3.57770876) = 2 (- 3.57770876) - \sqrt{16 - {(- 3.57770876)}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 3.57770876$ .

$f (- 3.57770876) = - 7.15541752 - \sqrt{16 - {(- 3.57770876)}^{2}}$

Étape 11.2.1.2

Élevez $- 3.57770876$ à la puissance $2$ .

$f (- 3.57770876) = - 7.15541752 - \sqrt{16 - 1 \cdot 12.8}$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $12.8$ .

$f (- 3.57770876) = - 7.15541752 - \sqrt{16 - 12.8}$

Étape 11.2.1.4

Soustrayez $12.8$ de $16$ .

$f (- 3.57770876) = - 7.15541752 - \sqrt{3.19999999}$

Étape 11.2.2

Soustrayez $\sqrt{3.19999999}$ de $- 7.15541752$ .

$f (- 3.57770876) = - 8.9442719$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 8.9442719$ .

$y = - 8.9442719$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{16}{{(- {(- 4)}^{2} + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$\frac{16}{{(- 1 \cdot 16 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\frac{16}{{(- 16 + 16)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 13.2.1

Additionnez $- 16$ et $16$ .

$\frac{16}{0^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{16}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 13.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 13.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{16}{0^{3}}$

Étape 13.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{16}{0}$

Étape 13.2.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{16}{0}$

Étape 13.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 14

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 15