Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Étape 1.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x)$

Étape 1.4.2.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$

Étape 1.4.2.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

Étape 4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

Étape 5

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$ .

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Étape 5.1

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 5.2

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Étape 7

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 7.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 7.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 7.2.5

La solution de l’équation est $x = 0$ .

$x = 0, π$

Étape 8

Définissez $\cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $\cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Étape 8.2

Résolvez $\cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = 1$

Étape 8.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 8.2.4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 8.2.5

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 8.2.6

La solution de l’équation est $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, π, 2 π$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 \cos (2 (0)) - 2 \cos (0)$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$2 \cos (0) - 2 \cos (0)$

Étape 11.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 \cdot 1 - 2 \cos (0)$

Étape 11.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - 2 \cos (0)$

Étape 11.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 - 2 \cdot 1$

Étape 11.1.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 - 2$

Étape 11.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$0$

Étape 12

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 12.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Étape 12.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 12.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \sin (2 (- 2)) - 2 \sin (- 2)$

Étape 12.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = \sin (- 4) - 2 \sin (- 2)$

Étape 12.2.2.1.2

Évaluez $\sin (- 4)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \sin (- 2)$

Étape 12.2.2.1.3

Évaluez $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \cdot - 0.90929742$

Étape 12.2.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 + 1.81859485$

Étape 12.2.2.2

Additionnez $0.75680249$ et $1.81859485$ .

$f' (- 2) = 2.57539734$

Étape 12.2.2.3

La réponse finale est $2.57539734$ .

$2.57539734$

Étape 12.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, π)$ dans la dérivée première $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 12.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \sin (2 (2)) - 2 \sin (2)$

Étape 12.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (2) = \sin (4) - 2 \sin (2)$

Étape 12.3.2.1.2

Évaluez $\sin (4)$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \sin (2)$

Étape 12.3.2.1.3

Évaluez $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \cdot 0.90929742$

Étape 12.3.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $0.90929742$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 1.81859485$

Étape 12.3.2.2

Soustrayez $1.81859485$ de $- 0.75680249$ .

$f' (2) = - 2.57539734$

Étape 12.3.2.3

La réponse finale est $- 2.57539734$ .

$- 2.57539734$

Étape 12.4

Remplacez tout nombre, tel que $5$ , de l’intervalle $(π, 2 π)$ dans la dérivée première $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 12.4.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = \sin (2 (5)) - 2 \sin (5)$

Étape 12.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$f' (5) = \sin (10) - 2 \sin (5)$

Étape 12.4.2.1.2

Évaluez $\sin (10)$ .

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \sin (5)$

Étape 12.4.2.1.3

Évaluez $\sin (5)$ .

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \cdot - 0.95892427$

Étape 12.4.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 0.54402111 + 1.91784854$

Étape 12.4.2.2

Additionnez $- 0.54402111$ et $1.91784854$ .

$f' (5) = 1.37382743$

Étape 12.4.2.3

La réponse finale est $1.37382743$ .

$1.37382743$

Étape 12.5

Remplacez tout nombre, tel que $9$ , de l’intervalle $(2 π, \infty)$ dans la dérivée première $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 12.5.1

Remplacez la variable $x$ par $9$ dans l’expression.

$f' (9) = \sin (2 (9)) - 2 \sin (9)$

Étape 12.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.5.2.1.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$f' (9) = \sin (18) - 2 \sin (9)$

Étape 12.5.2.1.2

Évaluez $\sin (18)$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \sin (9)$

Étape 12.5.2.1.3

Évaluez $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \cdot 0.41211848$

Étape 12.5.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $0.41211848$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 0.82423697$

Étape 12.5.2.2

Soustrayez $0.82423697$ de $- 0.75098724$ .

$f' (9) = - 1.57522421$

Étape 12.5.2.3

La réponse finale est $- 1.57522421$ .

$- 1.57522421$

Étape 12.6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 12.7

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = π$ , $x = π$ est un minimum local.

$x = π$ est un minimum local

Étape 12.8

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 2 π$ , $x = 2 π$ est un maximum local.

$x = 2 π$ est un maximum local

Étape 12.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ .

$x = 0$ est un maximum local

$x = π$ est un minimum local

$x = 2 π$ est un maximum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = π$ est un minimum local

$x = 2 π$ est un maximum local

Étape 13