Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cos (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.2.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.2.5

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.2.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.2.9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.2.10

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x)$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x) = 0$

Étape 4

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ .

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Étape 4.1

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \sin (x) (- \cos (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Étape 4.2

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 4.3

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ .

$2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- \cos (x) - 1 = 0$

Étape 6

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 6.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 6.2.5

La solution de l’équation est $x = 0$ .

$x = 0, π$

Étape 7

Définissez $- \cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $- \cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$- \cos (x) - 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $- \cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- \cos (x) = 1$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 7.2.2.2.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 1}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\cos (x) = - 1$

Étape 7.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 7.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 7.2.5

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 7.2.6

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 7.2.7

La solution de l’équation est $x = π$ .

$x = π, π$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, π$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \cos^{2} (0) + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 2 \cdot 1^{2} + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Étape 10.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Étape 10.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (0)$

Étape 10.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (0)$

Étape 10.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (0)$

Étape 10.1.6

Multipliez $2$ par $0$ .

$- 2 + 0 - 2 \cos (0)$

Étape 10.1.7

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 2 + 0 - 2 \cdot 1$

Étape 10.1.8

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 + 0 - 2$

Étape 10.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 10.2.1

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$- 2 - 2$

Étape 10.2.2

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$- 4$

Étape 11

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (0) = 2 + \cos^{2} (0)$

Étape 12.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = 2 + 1^{2}$

Étape 12.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (0) = 2 + 1$

Étape 12.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (0) = 3$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $3$ .

$y = 3$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = π$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \cos^{2} (π) + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- 2 {(- \cos (0))}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Étape 14.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 2 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Étape 14.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 {(- 1)}^{2} + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Étape 14.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Étape 14.1.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 + 2 \sin^{2} (π) - 2 \cos (π)$

Étape 14.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 2 + 2 \sin^{2} (0) - 2 \cos (π)$

Étape 14.1.7

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0^{2} - 2 \cos (π)$

Étape 14.1.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 2 + 2 \cdot 0 - 2 \cos (π)$

Étape 14.1.9

Multipliez $2$ par $0$ .

$- 2 + 0 - 2 \cos (π)$

Étape 14.1.10

$- 2 + 0 - 2 (- \cos (0))$

Étape 14.1.11

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 2 + 0 - 2 (- 1 \cdot 1)$

Étape 14.1.12

Multipliez $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 14.1.12.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 + 0 - 2 \cdot - 1$

Étape 14.1.12.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 2 + 0 + 2$

Étape 14.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 14.2.1

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$- 2 + 2$

Étape 14.2.2

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$0$

Étape 15

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 15.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

Étape 15.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - 2 \cos (- 2) \sin (- 2) - 2 \sin (- 2)$

Étape 15.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.2.1.1

Évaluez $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 2 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2)) - 2 \sin (- 2)$

Étape 15.2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = 0.83229367 \sin (- 2) - 2 \sin (- 2)$

Étape 15.2.2.1.3

Évaluez $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 0.83229367 \cdot - 0.90929742 - 2 \sin (- 2)$

Étape 15.2.2.1.4

Multipliez $0.83229367$ par $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 0.75680249 - 2 \sin (- 2)$

Étape 15.2.2.1.5

Évaluez $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 0.75680249 - 2 \cdot - 0.90929742$

Étape 15.2.2.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 0.75680249 + 1.81859485$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $- 0.75680249$ et $1.81859485$ .

$f' (- 2) = 1.06179235$

Étape 15.2.2.3

La réponse finale est $1.06179235$ .

$1.06179235$

Étape 15.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, π)$ dans la dérivée première $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = - 2 \cos (2) \sin (2) - 2 \sin (2)$

Étape 15.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.3.2.1.1

Évaluez $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 2 \cdot (- 0.41614683 \sin (2)) - 2 \sin (2)$

Étape 15.3.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 0.41614683$ .

$f' (2) = 0.83229367 \sin (2) - 2 \sin (2)$

Étape 15.3.2.1.3

Évaluez $\sin (2)$ .

$f' (2) = 0.83229367 \cdot 0.90929742 - 2 \sin (2)$

Étape 15.3.2.1.4

Multipliez $0.83229367$ par $0.90929742$ .

$f' (2) = 0.75680249 - 2 \sin (2)$

Étape 15.3.2.1.5

Évaluez $\sin (2)$ .

$f' (2) = 0.75680249 - 2 \cdot 0.90929742$

Étape 15.3.2.1.6

Multipliez $- 2$ par $0.90929742$ .

$f' (2) = 0.75680249 - 1.81859485$

Étape 15.3.2.2

Soustrayez $1.81859485$ de $0.75680249$ .

$f' (2) = - 1.06179235$

Étape 15.3.2.3

La réponse finale est $- 1.06179235$ .

$- 1.06179235$

Étape 15.4

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(π, \infty)$ dans la dérivée première $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.4.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = - 2 \cos (6) \sin (6) - 2 \sin (6)$

Étape 15.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.4.2.1.1

Évaluez $\cos (6)$ .

$f' (6) = - 2 \cdot (0.96017028 \sin (6)) - 2 \sin (6)$

Étape 15.4.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $0.96017028$ .

$f' (6) = - 1.92034057 \sin (6) - 2 \sin (6)$

Étape 15.4.2.1.3

Évaluez $\sin (6)$ .

$f' (6) = - 1.92034057 \cdot - 0.27941549 - 2 \sin (6)$

Étape 15.4.2.1.4

Multipliez $- 1.92034057$ par $- 0.27941549$ .

$f' (6) = 0.53657291 - 2 \sin (6)$

Étape 15.4.2.1.5

Évaluez $\sin (6)$ .

$f' (6) = 0.53657291 - 2 \cdot - 0.27941549$

Étape 15.4.2.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 0.27941549$ .

$f' (6) = 0.53657291 + 0.55883099$

Étape 15.4.2.2

Additionnez $0.53657291$ et $0.55883099$ .

$f' (6) = 1.09540391$

Étape 15.4.2.3

La réponse finale est $1.09540391$ .

$1.09540391$

Étape 15.5

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 15.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = π$ , $x = π$ est un minimum local.

$x = π$ est un minimum local

Étape 15.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ .

$x = 0$ est un maximum local

$x = π$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = π$ est un minimum local

Étape 16