Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{3}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $24$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

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Étape 1.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3 + 4} \cdot (24 - 3 x)]$

Étape 1.3.2

Additionnez $3$ et $4$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{7} \cdot (24 - 3 x)]$

Étape 1.3.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{7} (24 - 3 x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$ .

$72 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = 24 - 3 x$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \frac{d}{d x} [24 - 3 x] + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 1.3.6

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24$ par rapport à $x$ est $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 1.3.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 1.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Étape 1.3.10

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Étape 1.3.11

Soustrayez $3$ de $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \cdot - 3 + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Étape 1.3.12

Déplacez $- 3$ à gauche de $x^{7}$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 \cdot x^{7} + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Étape 1.3.13

Déplacez $7$ à gauche de $24 - 3 x$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 (24 - 3 x) x^{6})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + (7 \cdot 24 + 7 (- 3 x)) x^{6})$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 \cdot 24 x^{6} + 7 (- 3 x) x^{6})$

Étape 1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7}) - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Étape 1.4.4

Associez des termes.

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Étape 1.4.4.1

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Étape 1.4.4.2

Multipliez $7$ par $24$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (168 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Étape 1.4.4.3

Multipliez $168$ par $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Étape 1.4.4.4

Multipliez $- 3$ par $7$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x \cdot x^{6})$

Étape 1.4.4.5

Multipliez $x$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.4.5.1

Déplacez $x^{6}$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x))$

Étape 1.4.4.5.2

Multipliez $x^{6}$ par $x$ .

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Étape 1.4.4.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x^{1}))$

Étape 1.4.4.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{6 + 1})$

Étape 1.4.4.5.3

Additionnez $6$ et $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{7})$

Étape 1.4.4.6

Multipliez $- 21$ par $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} + 63 x^{7}$

Étape 1.4.4.7

Additionnez $9 x^{7}$ et $63 x^{7}$ .

$72 x^{2} + 72 x^{7} - 504 x^{6}$

Étape 1.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [72 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 504 x^{6}] + \frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (72 x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [72 x^{7}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $72$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $72 x^{7}$ par rapport à $x$ est $72 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$f'' (x) = 72 \frac{d}{d x} (x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$f'' (x) = 72 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Étape 2.2.3

Multipliez $7$ par $72$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 504 x^{6}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 504$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 504 x^{6}$ par rapport à $x$ est $- 504 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 504 \frac{d}{d x} x^{6} + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 504 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Étape 2.3.3

Multipliez $6$ par $- 504$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $72$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $72 x^{2}$ par rapport à $x$ est $72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 72 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 72 (2 x)$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $72$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 144 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{3}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $24$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

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Étape 4.1.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3 + 4} \cdot (24 - 3 x)]$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $3$ et $4$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{7} \cdot (24 - 3 x)]$

Étape 4.1.3.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{7} (24 - 3 x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$ .

$72 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$

Étape 4.1.3.4

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \frac{d}{d x} [24 - 3 x] + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 4.1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 4.1.3.6

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24$ par rapport à $x$ est $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 4.1.3.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 4.1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Étape 4.1.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Étape 4.1.3.10

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Étape 4.1.3.11

Soustrayez $3$ de $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \cdot - 3 + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Étape 4.1.3.12

Déplacez $- 3$ à gauche de $x^{7}$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 \cdot x^{7} + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

Étape 4.1.3.13

Déplacez $7$ à gauche de $24 - 3 x$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 (24 - 3 x) x^{6})$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + (7 \cdot 24 + 7 (- 3 x)) x^{6})$

Étape 4.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 \cdot 24 x^{6} + 7 (- 3 x) x^{6})$

Étape 4.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7}) - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Étape 4.1.4.4

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.4.1

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Étape 4.1.4.4.2

Multipliez $7$ par $24$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (168 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Étape 4.1.4.4.3

Multipliez $168$ par $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

Étape 4.1.4.4.4

Multipliez $- 3$ par $7$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x \cdot x^{6})$

Étape 4.1.4.4.5

Multipliez $x$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.4.4.5.1

Déplacez $x^{6}$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x))$

Étape 4.1.4.4.5.2

Multipliez $x^{6}$ par $x$ .

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Étape 4.1.4.4.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x^{1}))$

Étape 4.1.4.4.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{6 + 1})$

Étape 4.1.4.4.5.3

Additionnez $6$ et $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{7})$

Étape 4.1.4.4.6

Multipliez $- 21$ par $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} + 63 x^{7}$

Étape 4.1.4.4.7

Additionnez $9 x^{7}$ et $63 x^{7}$ .

$72 x^{2} + 72 x^{7} - 504 x^{6}$

Étape 4.1.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ .

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$

Étape 5.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 0.60223321, 0, 0.62944187, 6.9995834$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 0.60223321, 0, 0.62944187, 6.9995834$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 0.60223321$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$504 {(- 0.60223321)}^{6} - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Élevez $- 0.60223321$ à la puissance $6$ .

$504 \cdot 0.04770767 - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

Étape 9.1.2

Multipliez $504$ par $0.04770767$ .

$24.04466629 - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

Étape 9.1.3

Élevez $- 0.60223321$ à la puissance $5$ .

$24.04466629 - 3024 \cdot - 0.07921793 + 144 (- 0.60223321)$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 3024$ par $- 0.07921793$ .

$24.04466629 + 239.55503398 + 144 (- 0.60223321)$

Étape 9.1.5

Multipliez $144$ par $- 0.60223321$ .

$24.04466629 + 239.55503398 - 86.72158264$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 9.2.1

Additionnez $24.04466629$ et $239.55503398$ .

$263.59970027 - 86.72158264$

Étape 9.2.2

Soustrayez $86.72158264$ de $263.59970027$ .

$176.87811762$

Étape 10

$x = - 0.60223321$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 0.60223321$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 0.60223321$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.60223321$ dans l’expression.

$f (- 0.60223321) = 24 {(- 0.60223321)}^{3} - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Élevez $- 0.60223321$ à la puissance $3$ .

$f (- 0.60223321) = 24 \cdot - 0.21842085 - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $24$ par $- 0.21842085$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

Étape 11.2.1.3

Multipliez ${(- 0.60223321)}^{4}$ par ${(- 0.60223321)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.1.3.1

Déplacez ${(- 0.60223321)}^{3}$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 ({(- 0.60223321)}^{3} {(- 0.60223321)}^{4}) \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Étape 11.2.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{3 + 4} \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Étape 11.2.1.3.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{7} \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Étape 11.2.1.4

Élevez $- 0.60223321$ à la puissance $7$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 \cdot - 0.02873114 \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $- 3$ par $- 0.02873114$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 0.60223321$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot (24 + 1.80669963)$

Étape 11.2.1.7

Additionnez $24$ et $1.80669963$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot 25.80669963$

Étape 11.2.1.8

Multipliez $0.08619343$ par $25.80669963$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 2.22436801$

Étape 11.2.2

Additionnez $- 5.24210059$ et $2.22436801$ .

$f (- 0.60223321) = - 3.01773257$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 3.01773257$ .

$y = - 3.01773257$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$504 {(0)}^{6} - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$504 \cdot 0 - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

Étape 13.1.2

Multipliez $504$ par $0$ .

$0 - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

Étape 13.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 3024 \cdot 0 + 144 (0)$

Étape 13.1.4

Multipliez $- 3024$ par $0$ .

$0 + 0 + 144 (0)$

Étape 13.1.5

Multipliez $144$ par $0$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 13.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 13.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 14

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 14.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 0.60223321) \cup (- 0.60223321, 0) \cup (0, 0.62944187) \cup (0.62944187, 6.9995834) \cup (6.9995834, \infty)$

Étape 14.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 3$ , de l’intervalle $(- \infty, - 0.60223321)$ dans la dérivée première $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = 72 {(- 3)}^{7} - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

Étape 14.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $7$ .

$f' (- 3) = 72 \cdot - 2187 - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

Étape 14.2.2.1.2

Multipliez $72$ par $- 2187$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

Étape 14.2.2.1.3

Élevez $- 3$ à la puissance $6$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 504 \cdot 729 + 72 {(- 3)}^{2}$

Étape 14.2.2.1.4

Multipliez $- 504$ par $729$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 72 {(- 3)}^{2}$

Étape 14.2.2.1.5

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 72 \cdot 9$

Étape 14.2.2.1.6

Multipliez $72$ par $9$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 648$

Étape 14.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 14.2.2.2.1

Soustrayez $367416$ de $- 157464$ .

$f' (- 3) = - 524880 + 648$

Étape 14.2.2.2.2

Additionnez $- 524880$ et $648$ .

$f' (- 3) = - 524232$

Étape 14.2.2.3

La réponse finale est $- 524232$ .

$- 524232$

Étape 14.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 0.3$ , de l’intervalle $(- 0.60223321, 0)$ dans la dérivée première $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.3$ dans l’expression.

$f' (- 0.3) = 72 {(- 0.3)}^{7} - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Étape 14.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.3.2.1.1

Élevez $- 0.3$ à la puissance $7$ .

$f' (- 0.3) = 72 \cdot - 0.0002187 - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Étape 14.3.2.1.2

Multipliez $72$ par $- 0.0002187$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Étape 14.3.2.1.3

Élevez $- 0.3$ à la puissance $6$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 504 \cdot 0.000729 + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Étape 14.3.2.1.4

Multipliez $- 504$ par $0.000729$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 72 {(- 0.3)}^{2}$

Étape 14.3.2.1.5

Élevez $- 0.3$ à la puissance $2$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 72 \cdot 0.09$

Étape 14.3.2.1.6

Multipliez $72$ par $0.09$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 6.48$

Étape 14.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 14.3.2.2.1

Soustrayez $0.367416$ de $- 0.0157464$ .

$f' (- 0.3) = - 0.3831624 + 6.48$

Étape 14.3.2.2.2

Additionnez $- 0.3831624$ et $6.48$ .

$f' (- 0.3) = 6.0968376$

Étape 14.3.2.3

La réponse finale est $6.0968376$ .

$6.0968376$

Étape 14.4

Remplacez tout nombre, tel que $0.31$ , de l’intervalle $(0, 0.62944187)$ dans la dérivée première $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.1

Remplacez la variable $x$ par $0.31$ dans l’expression.

$f' (0.31) = 72 {(0.31)}^{7} - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

Étape 14.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.1.1

Élevez $0.31$ à la puissance $7$ .

$f' (0.31) = 72 \cdot 0.00027512 - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

Étape 14.4.2.1.2

Multipliez $72$ par $0.00027512$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

Étape 14.4.2.1.3

Élevez $0.31$ à la puissance $6$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 504 \cdot 0.0008875 + 72 {(0.31)}^{2}$

Étape 14.4.2.1.4

Multipliez $- 504$ par $0.0008875$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 72 {(0.31)}^{2}$

Étape 14.4.2.1.5

Élevez $0.31$ à la puissance $2$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 72 \cdot 0.0961$

Étape 14.4.2.1.6

Multipliez $72$ par $0.0961$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 6.9192$

Étape 14.4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 14.4.2.2.1

Soustrayez $0.44730185$ de $0.01980908$ .

$f' (0.31) = - 0.42749277 + 6.9192$

Étape 14.4.2.2.2

Additionnez $- 0.42749277$ et $6.9192$ .

$f' (0.31) = 6.49170722$

Étape 14.4.2.3

La réponse finale est $6.49170722$ .

$6.49170722$

Étape 14.5

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(0.62944187, 6.9995834)$ dans la dérivée première $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.5.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 72 {(4)}^{7} - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

Étape 14.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.5.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $7$ .

$f' (4) = 72 \cdot 16384 - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

Étape 14.5.2.1.2

Multipliez $72$ par $16384$ .

$f' (4) = 1179648 - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

Étape 14.5.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $6$ .

$f' (4) = 1179648 - 504 \cdot 4096 + 72 {(4)}^{2}$

Étape 14.5.2.1.4

Multipliez $- 504$ par $4096$ .

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 72 {(4)}^{2}$

Étape 14.5.2.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 72 \cdot 16$

Étape 14.5.2.1.6

Multipliez $72$ par $16$ .

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 1152$

Étape 14.5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 14.5.2.2.1

Soustrayez $2064384$ de $1179648$ .

$f' (4) = - 884736 + 1152$

Étape 14.5.2.2.2

Additionnez $- 884736$ et $1152$ .

$f' (4) = - 883584$

Étape 14.5.2.3

La réponse finale est $- 883584$ .

$- 883584$

Étape 14.6

Remplacez tout nombre, tel que $9$ , de l’intervalle $(6.9995834, \infty)$ dans la dérivée première $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.6.1

Remplacez la variable $x$ par $9$ dans l’expression.

$f' (9) = 72 {(9)}^{7} - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

Étape 14.6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.6.2.1.1

Élevez $9$ à la puissance $7$ .

$f' (9) = 72 \cdot 4782969 - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

Étape 14.6.2.1.2

Multipliez $72$ par $4782969$ .

$f' (9) = 344373768 - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

Étape 14.6.2.1.3

Élevez $9$ à la puissance $6$ .

$f' (9) = 344373768 - 504 \cdot 531441 + 72 {(9)}^{2}$

Étape 14.6.2.1.4

Multipliez $- 504$ par $531441$ .

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 72 {(9)}^{2}$

Étape 14.6.2.1.5

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 72 \cdot 81$

Étape 14.6.2.1.6

Multipliez $72$ par $81$ .

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 5832$

Étape 14.6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 14.6.2.2.1

Soustrayez $267846264$ de $344373768$ .

$f' (9) = 76527504 + 5832$

Étape 14.6.2.2.2

Additionnez $76527504$ et $5832$ .

$f' (9) = 76533336$

Étape 14.6.2.3

La réponse finale est $76533336$ .

$76533336$

Étape 14.7

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - 0.60223321$ , $x = - 0.60223321$ est un minimum local.

$x = - 0.60223321$ est un minimum local

Étape 14.8

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 14.9

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0.62944187$ , $x = 0.62944187$ est un maximum local.

$x = 0.62944187$ est un maximum local

Étape 14.10

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 6.9995834$ , $x = 6.9995834$ est un minimum local.

$x = 6.9995834$ est un minimum local

Étape 14.11

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$ .

$x = - 0.60223321$ est un minimum local

$x = 0.62944187$ est un maximum local

$x = 6.9995834$ est un minimum local

$x = - 0.60223321$ est un minimum local

$x = 0.62944187$ est un maximum local

$x = 6.9995834$ est un minimum local

Étape 15