Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 22 x - 44 \sqrt{x} + 48$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $22 x - 44 \sqrt{x} + 48$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [22 x] + \frac{d}{d x} [- 44 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [48]$ .

$\frac{d}{d x} [22 x] + \frac{d}{d x} [- 44 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [22 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $22$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $22 x$ par rapport à $x$ est $22 \frac{d}{d x} [x]$ .

$22 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 44 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$22 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 44 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.2.3

Multipliez $22$ par $1$ .

$22 + \frac{d}{d x} [- 44 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 44 \sqrt{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$22 + \frac{d}{d x} [- 44 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.3.2

Comme $- 44$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 44 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 44 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$22 - 44 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$22 - 44 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$22 - 44 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$22 - 44 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$22 - 44 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.3.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$22 - 44 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$22 - 44 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$22 - 44 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.3.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$22 - 44 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.3.10

Associez $- 44$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$22 + \frac{- 44 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.3.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$22 + \frac{- 44}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.3.12

Factorisez $2$ à partir de $- 44$ .

$22 + \frac{2 \cdot - 22}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.3.13

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$22 + \frac{2 \cdot - 22}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.3.13.2

Annulez le facteur commun.

$22 + \frac{2 \cdot - 22}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.3.13.3

Réécrivez l’expression.

$22 + \frac{- 22}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$22 - \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48$ par rapport à $x$ est $0$ .

$22 - \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $22 - \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$22 - \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $22 - \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [22] + \frac{d}{d x} [- \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (22) + \frac{d}{d x} (- \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.1.2

Comme $22$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $22$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $- 22$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- 22 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 22 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 22 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 22 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 22 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 22 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 22 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 22 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 2.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 22 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 2.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 0 - 22 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 2.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 0 - 22 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 2.2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 22 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 2.2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 22 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 0 - 22 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 2.2.9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = 0 - 22 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 2.2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = 0 - 22 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 2.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 - 22 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 2.2.11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 22 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 2.2.12

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 22 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Étape 2.2.13

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x^{- 1}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 0 - 22 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Étape 2.2.13.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 22 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Étape 2.2.13.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 22 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Étape 2.2.13.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = 0 - 22 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Étape 2.2.13.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.13.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = 0 - 22 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Étape 2.2.13.5.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 22 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Étape 2.2.13.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = 0 - 22 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Étape 2.2.14

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 22 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 2.2.15

Multipliez $- 1$ par $- 22$ .

$f'' (x) = 0 + 22 (\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Étape 2.2.16

Associez $22$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{22}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.2.17

Factorisez $2$ à partir de $22$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2 \cdot 11}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.2.18

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.18.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2 \cdot 11}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Étape 2.2.18.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 \cdot 11}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.2.18.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 0 + \frac{11}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{11}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{11}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$22 - \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $22 x - 44 \sqrt{x} + 48$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [22 x] + \frac{d}{d x} [- 44 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [48]$ .

$\frac{d}{d x} [22 x] + \frac{d}{d x} [- 44 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [22 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Comme $22$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $22 x$ par rapport à $x$ est $22 \frac{d}{d x} [x]$ .

$22 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 44 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$22 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 44 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $22$ par $1$ .

$22 + \frac{d}{d x} [- 44 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 44 \sqrt{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$22 + \frac{d}{d x} [- 44 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.3.2

Comme $- 44$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 44 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 44 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$22 - 44 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$22 - 44 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$22 - 44 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$22 - 44 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$22 - 44 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.3.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$22 - 44 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$22 - 44 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$22 - 44 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.3.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$22 - 44 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.3.10

Associez $- 44$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$22 + \frac{- 44 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.3.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$22 + \frac{- 44}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.3.12

Factorisez $2$ à partir de $- 44$ .

$22 + \frac{2 \cdot - 22}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.3.13

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$22 + \frac{2 \cdot - 22}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.3.13.2

Annulez le facteur commun.

$22 + \frac{2 \cdot - 22}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.3.13.3

Réécrivez l’expression.

$22 + \frac{- 22}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$22 - \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [48]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.4.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48$ par rapport à $x$ est $0$ .

$22 - \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $22 - \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$f' (x) = 22 - \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $22 - \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$22 - \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $22 - \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$22 - \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $22$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}} = - 22$

Étape 5.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{\frac{1}{2}}, 1$

Étape 5.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}} = - 22$ par $x^{\frac{1}{2}}$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}} = - 22$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - 22 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{22}{x^{\frac{1}{2}}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 22}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - 22 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 22}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - 22 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 22 = - 22 x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.5

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 22 x^{\frac{1}{2}} = - 22$ .

$- 22 x^{\frac{1}{2}} = - 22$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $- 22 x^{\frac{1}{2}} = - 22$ par $- 22$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 22 x^{\frac{1}{2}} = - 22$ par $- 22$ .

$\frac{- 22 x^{\frac{1}{2}}}{- 22} = \frac{- 22}{- 22}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 22 x^{\frac{1}{2}}}{- 22} = \frac{- 22}{- 22}$

Étape 5.5.2.2.2

Divisez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 22}{- 22}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.3.1

Divisez $- 22$ par $- 22$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 1$

Étape 5.5.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 5.5.4

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Étape 5.5.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Étape 5.5.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 1^{2}$

Étape 5.5.4.1.1.2

Simplifiez

$x = 1^{2}$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$22 - \frac{22}{\sqrt{x^{1}}}$

Étape 6.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$22 - \frac{22}{\sqrt{x}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{22}{\sqrt{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x = 0^{2}$

Étape 6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 6.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 6.5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 1, 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{11}{{(1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{11}{1}$

Étape 9.2

Divisez $11$ par $1$ .

$11$

Étape 10

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 22 (1) - 44 \sqrt{1} + 48$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Multipliez $22$ par $1$ .

$f (1) = 22 - 44 \sqrt{1} + 48$

Étape 11.2.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (1) = 22 - 44 \cdot 1 + 48$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 44$ par $1$ .

$f (1) = 22 - 44 + 48$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Soustrayez $44$ de $22$ .

$f (1) = - 22 + 48$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $- 22$ et $48$ .

$f (1) = 26$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $26$ .

$y = 26$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{11}{{(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{11}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{11}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 13.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{11}{0^{3}}$

Étape 13.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{11}{0}$

Étape 13.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 14

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 15