Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \sin^{2} (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \sin^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$3 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

Étape 1.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$3 (2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

Étape 1.2.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \sin (x) \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$6 \sin (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \cos (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = 6 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Étape 2.2.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Étape 2.2.5

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Étape 2.2.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Étape 2.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 6 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Étape 2.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Étape 2.2.9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Étape 2.2.10

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Étape 2.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Étape 2.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (3 \cos (x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 6 \cos^{2} (x) + 6 (- \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f'' (x) = 6 \cos^{2} (x) - 6 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x) = 0$

Étape 4

Factorisez $3 \cos (x)$ à partir de $6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cos (x)$ .

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Étape 4.1

Factorisez $3 \cos (x)$ à partir de $6 \cos (x) \sin (x)$ .

$3 \cos (x) (2 \sin (x)) + 3 \cos (x) = 0$

Étape 4.2

Factorisez $3 \cos (x)$ à partir de $3 \cos (x)$ .

$3 \cos (x) (2 \sin (x)) + 3 \cos (x) \cdot 1 = 0$

Étape 4.3

Factorisez $3 \cos (x)$ à partir de $3 \cos (x) (2 \sin (x)) + 3 \cos (x) \cdot 1$ .

$3 \cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Étape 6

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 6.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 6.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 6.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 6.2.5

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Étape 7

Définissez $2 \sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $2 \sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $2 \sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) = - 1$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 7.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 7.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 7.2.5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 7.2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 7.2.6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 7.2.6.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 7.2.7

La solution de l’équation est $x = - \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 \cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$6 \cdot 0^{2} - 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$6 \cdot 0 - 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.3

Multipliez $6$ par $0$ .

$0 - 6 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 - 6 \cdot 1^{2} - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 - 6 \cdot 1 - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.6

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$0 - 6 - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 10.1.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 - 6 - 3 \cdot 1$

Étape 10.1.8

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$0 - 6 - 3$

Étape 10.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 10.2.1

Soustrayez $6$ de $0$ .

$- 6 - 3$

Étape 10.2.2

Soustrayez $3$ de $- 6$ .

$- 9$

Étape 11

$x = \frac{π}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{2}$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 3 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 1^{2} + 3 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 12.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot 1 + 3 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 12.2.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 3 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 12.2.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 3 \cdot 1$

Étape 12.2.1.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3 + 3$

Étape 12.2.2

Additionnez $3$ et $3$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $6$ .

$y = 6$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) - 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$6 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$6 \cdot 0^{2} - 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$6 \cdot 0 - 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.4

Multipliez $6$ par $0$ .

$0 - 6 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$0 - 6 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 - 6 {(- 1 \cdot 1)}^{2} - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 6 {(- 1)}^{2} - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$0 - 6 \cdot 1 - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.9

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$0 - 6 - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 14.1.10

$0 - 6 - 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 14.1.11

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 - 6 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Étape 14.1.12

Multipliez $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 14.1.12.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 6 - 3 \cdot - 1$

Étape 14.1.12.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$0 - 6 + 3$

Étape 14.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 14.2.1

Soustrayez $6$ de $0$ .

$- 6 + 3$

Étape 14.2.2

Additionnez $- 6$ et $3$ .

$- 3$

Étape 15

$x = \frac{3 π}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 π}{2}$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 16.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 16.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 {(- 1)}^{2} + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 16.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cdot 1 + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 16.2.1.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 16.2.1.6

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 16.2.1.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Étape 16.2.1.8

Multipliez $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 16.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 + 3 \cdot - 1$

Étape 16.2.1.8.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 - 3$

Étape 16.2.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{π}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 \cos^{2} (- \frac{π}{6}) - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 18.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$6 \cos^{2} (\frac{11 π}{6}) - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$6 \cos^{2} (\frac{π}{6}) - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 18.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$6 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$6 \frac{3^{1}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$6 \frac{3}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$6 (\frac{3}{4}) - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.1.7.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) \frac{3}{4} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \cdot 3 \frac{3}{2 \cdot 2} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 3 \frac{3}{2 \cdot 2} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{3}{2}) - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.8

Associez $3$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.9

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9}{2} - 6 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.10

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{9}{2} - 6 \sin^{2} (\frac{11 π}{6}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.11

$\frac{9}{2} - 6 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.12

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.13

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 18.1.13.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.13.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.14

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{2} - 6 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.15

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\frac{9}{2} - 6 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.16

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{9}{2} - 6 \frac{1}{2^{2}} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.17

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{2} - 6 (\frac{1}{4}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.18

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.1.18.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{9}{2} + 2 (- 3) \frac{1}{4} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.18.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{9}{2} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.18.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{2} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.18.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{2} - 3 (\frac{1}{2}) - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.19

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 3}{2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 18.1.21

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 \sin (\frac{11 π}{6})$

Étape 18.1.22

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 18.1.23

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 (- \frac{1}{2})$

Étape 18.1.24

Multipliez $- 3 (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 18.1.24.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} + 3 (\frac{1}{2})$

Étape 18.1.24.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 18.2

Associez les fractions.

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Étape 18.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 - 3 + 3}{2}$

Étape 18.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 18.2.2.1

Soustrayez $3$ de $9$ .

$\frac{6 + 3}{2}$

Étape 18.2.2.2

Additionnez $6$ et $3$ .

$\frac{9}{2}$

Étape 19

$x = - \frac{π}{6}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{π}{6}$ est un minimum local

Étape 20

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{π}{6}$ .

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Étape 20.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{π}{6}$ dans l’expression.

$f (- \frac{π}{6}) = 3 \sin^{2} (- \frac{π}{6}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 20.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 20.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.1.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 \sin^{2} (\frac{11 π}{6}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 20.2.1.2

$f (- \frac{π}{6}) = 3 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 20.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 20.2.1.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.2.1.4.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 20.2.1.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 20.2.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 20.2.1.6

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 20.2.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (\frac{1}{2^{2}}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 20.2.1.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 3 (\frac{1}{4}) + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 20.2.1.9

Associez $3$ et $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 \sin (- \frac{π}{6})$

Étape 20.2.1.10

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 \sin (\frac{11 π}{6})$

Étape 20.2.1.11

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 20.2.1.12

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

Étape 20.2.1.13

Multipliez $3 (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 20.2.1.13.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} - 3 (\frac{1}{2})$

Étape 20.2.1.13.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} + \frac{- 3}{2}$

Étape 20.2.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3}{2}$

Étape 20.2.2

Pour écrire $- \frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 20.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 20.2.3.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 20.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

Étape 20.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3 - 3 \cdot 2}{4}$

Étape 20.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 20.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{3 - 6}{4}$

Étape 20.2.5.2

Soustrayez $6$ de $3$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{- 3}{4}$

Étape 20.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{3}{4}$

Étape 20.2.7

La réponse finale est $- \frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{3}{4}$

Étape 21

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{7 π}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 \cos^{2} (\frac{7 π}{6}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 22.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 22.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$6 {(- \cos (\frac{π}{6}))}^{2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 22.1.3.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$6 (1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.5

Multipliez $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$6 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 22.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$6 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 22.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$6 \frac{3^{1}}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$6 \frac{3}{2^{2}} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$6 (\frac{3}{4}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 22.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) \frac{3}{4} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \cdot 3 \frac{3}{2 \cdot 2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 3 \frac{3}{2 \cdot 2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{3}{2}) - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.9

Associez $3$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.10

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9}{2} - 6 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.11

$\frac{9}{2} - 6 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.12

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.13

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 22.1.13.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.13.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - 6 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.14

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{2} - 6 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.15

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\frac{9}{2} - 6 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.16

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{9}{2} - 6 \frac{1}{2^{2}} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.17

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{2} - 6 (\frac{1}{4}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.18

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 22.1.18.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{9}{2} + 2 (- 3) \frac{1}{4} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.18.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{9}{2} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.18.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{2} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.18.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{2} - 3 (\frac{1}{2}) - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.19

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{- 3}{2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 22.1.21

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 22.1.22

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 3 (- \frac{1}{2})$

Étape 22.1.23

Multipliez $- 3 (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 22.1.23.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} + 3 (\frac{1}{2})$

Étape 22.1.23.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} - \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 22.2

Associez les fractions.

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Étape 22.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 - 3 + 3}{2}$

Étape 22.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 22.2.2.1

Soustrayez $3$ de $9$ .

$\frac{6 + 3}{2}$

Étape 22.2.2.2

Additionnez $6$ et $3$ .

$\frac{9}{2}$

Étape 23

$x = \frac{7 π}{6}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{7 π}{6}$ est un minimum local

Étape 24

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{7 π}{6}$ .

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Étape 24.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7 π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 \sin^{2} (\frac{7 π}{6}) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 24.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 24.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 24.2.1.1

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 {(- \sin (\frac{π}{6}))}^{2} + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 24.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 24.2.1.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 24.2.1.3.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 24.2.1.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 24.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 24.2.1.5

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 24.2.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (\frac{1}{2^{2}}) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 24.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = 3 (\frac{1}{4}) + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 24.2.1.8

Associez $3$ et $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 24.2.1.9

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 24.2.1.10

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} + 3 (- \frac{1}{2})$

Étape 24.2.1.11

Multipliez $3 (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 24.2.1.11.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} - 3 (\frac{1}{2})$

Étape 24.2.1.11.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} + \frac{- 3}{2}$

Étape 24.2.1.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3}{2}$

Étape 24.2.2

Pour écrire $- \frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 24.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 24.2.3.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 24.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

Étape 24.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3 - 3 \cdot 2}{4}$

Étape 24.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 24.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{3 - 6}{4}$

Étape 24.2.5.2

Soustrayez $6$ de $3$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 3}{4}$

Étape 24.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3}{4}$

Étape 24.2.7

La réponse finale est $- \frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{3}{4}$

Étape 25

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 3 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 6)$ est un maximum local

$(\frac{3 π}{2}, 0)$ est un maximum local

$(- \frac{π}{6}, - \frac{3}{4})$ est un minimum local

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{3}{4})$ est un minimum local

Étape 26