Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x - \tan (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \tan (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$2 - \sec^{2} (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - \sec^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Étape 2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sec^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sec^{2} (x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 - (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Étape 2.2.4

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Étape 2.2.5

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Étape 2.2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

Étape 2.2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

Étape 2.2.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 2.3

Soustrayez $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 - \sec^{2} (x) = 0$

Étape 4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- \sec^{2} (x) = - 2$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- \sec^{2} (x) = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- \sec^{2} (x) = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- \sec^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sec^{2} (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 5.2.2

Divisez $\sec^{2} (x)$ par $1$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$\sec^{2} (x) = 2$

Étape 6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Étape 7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Étape 7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 8

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Étape 9

Résolvez $x$ dans $\sec (x) = \sqrt{2}$ .

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Étape 9.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Étape 9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.1

La valeur exacte de $arcsec (\sqrt{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 9.3

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 9.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 9.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 9.4.2

Associez les fractions.

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Étape 9.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 9.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 9.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 9.4.3.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 9.5

La solution de l’équation est $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}$

Étape 10

Résolvez $x$ dans $\sec (x) = - \sqrt{2}$ .

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Étape 10.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Étape 10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.1

La valeur exacte de $arcsec (- \sqrt{2})$ est $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 10.3

La fonction sécante est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Étape 10.4

Simplifiez $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 10.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 10.4.2

Associez les fractions.

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Étape 10.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 10.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Étape 10.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Étape 10.4.3.2

Soustrayez $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 10.5

La solution de l’équation est $x = \frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Étape 11

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Étape 12

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 - \sec^{2} (x) = 0$ vrai.

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.2

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 14.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.4.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 14.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.5.5

Évaluez l’exposant.

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.6

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 4 \tan (\frac{π}{4})$

Étape 14.7

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$- 4 \cdot 1$

Étape 14.8

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4$

Étape 15

$x = \frac{π}{4}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{4}$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{4})$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{π}{2 (2)}) - \tan (\frac{π}{4})$

Étape 16.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{π}{4})$

Étape 16.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Étape 16.2.1.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

Étape 16.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{2} - 1$

Étape 16.2.2

La réponse finale est $\frac{π}{2} - 1$ .

$y = \frac{π}{2} - 1$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{7 π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \sec^{2} (\frac{7 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 18.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 2 \sec^{2} (\frac{π}{4}) \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.2

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 18.4.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 18.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.5.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.5.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 18.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.6.5

Évaluez l’exposant.

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.7

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 4 \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 18.8

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le quatrième quadrant.

$- 4 (- \tan (\frac{π}{4}))$

Étape 18.9

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

Étape 18.10

Multipliez $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 18.10.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 4 \cdot - 1$

Étape 18.10.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$4$

Étape 19

$x = \frac{7 π}{4}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{7 π}{4}$ est un minimum local

Étape 20

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{7 π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{7 π}{4}) = 2 (\frac{7 π}{4}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 20.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 2 (\frac{7 π}{2 (2)}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 20.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 π}{4}) = 2 (\frac{7 π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 20.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Étape 20.2.1.2

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} + \tan (\frac{π}{4})$

Étape 20.2.1.3

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Étape 20.2.1.4

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} + 1$

Étape 20.2.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 π}{2} + 1$

Étape 20.2.2

La réponse finale est $\frac{7 π}{2} + 1$ .

$y = \frac{7 π}{2} + 1$

Étape 21

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{3 π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \sec^{2} (\frac{3 π}{4}) \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la sécante est négative dans le deuxième quadrant.

$- 2 {(- \sec (\frac{π}{4}))}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.2

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.4.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 22.5.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.5.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$- 2 {(- \sqrt{2})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$- 2 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.6.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 2 (1 {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.6.3

Multipliez ${\sqrt{2}}^{2}$ par $1$ .

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.7.5

Évaluez l’exposant.

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.8

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 4 \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 22.9

$- 4 (- \tan (\frac{π}{4}))$

Étape 22.10

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$- 4 (- 1 \cdot 1)$

Étape 22.11

Multipliez $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.11.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 4 \cdot - 1$

Étape 22.11.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$4$

Étape 23

$x = \frac{3 π}{4}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{3 π}{4}$ est un minimum local

Étape 24

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{3 π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{3 π}{4}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 24.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{3 π}{2 (2)}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 24.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 24.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Étape 24.2.1.2

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} + \tan (\frac{π}{4})$

Étape 24.2.1.3

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Étape 24.2.1.4

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 24.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} + 1$

Étape 24.2.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{3 π}{2} + 1$

Étape 24.2.2

La réponse finale est $\frac{3 π}{2} + 1$ .

$y = \frac{3 π}{2} + 1$

Étape 25

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5 π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \sec^{2} (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.1

$- 2 {(- \sec (\frac{π}{4}))}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.2

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2}{\sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.4.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.5.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 {(- \frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.5.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$- 2 {(- \sqrt{2})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$- 2 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.6.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 2 (1 {\sqrt{2}}^{2}) \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.6.3

Multipliez ${\sqrt{2}}^{2}$ par $1$ .

$- 2 {\sqrt{2}}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 \cdot 2^{1} \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.7.5

Évaluez l’exposant.

$- 2 \cdot 2 \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.8

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 4 \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 26.9

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 4 \tan (\frac{π}{4})$

Étape 26.10

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$- 4 \cdot 1$

Étape 26.11

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4$

Étape 27

$x = \frac{5 π}{4}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5 π}{4}$ est un maximum local

Étape 28

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5 π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 28.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (\frac{5 π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 28.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 28.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 28.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 28.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (\frac{5 π}{2 (2)}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 28.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (\frac{5 π}{2 \cdot 2}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 28.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Étape 28.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Étape 28.2.1.3

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - 1 \cdot 1$

Étape 28.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 π}{2} - 1$

Étape 28.2.2

La réponse finale est $\frac{5 π}{2} - 1$ .

$y = \frac{5 π}{2} - 1$

Étape 29

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 x - \tan (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{2} - 1)$ est un maximum local

$(\frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{2} + 1)$ est un minimum local

$(\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2} + 1)$ est un minimum local

$(\frac{5 π}{4}, \frac{5 π}{2} - 1)$ est un maximum local

Étape 30