Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x - \sin (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$2 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$2 - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - (\cos (2 x) \cdot 2)$

Étape 1.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$2 - (2 \cdot \cos (2 x))$

Étape 1.3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 - 2 \cos (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 2 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (2 x))$

Étape 2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (2 x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 2.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 2.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Étape 2.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- 2 \sin (2 x))$

Étape 2.2.7

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 4 \sin (2 x)$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $4 \sin (2 x)$ .

$f'' (x) = 4 \sin (2 x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 - 2 \cos (2 x) = 0$

Étape 4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \cos (2 x) = - 2$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos (2 x) = - 2$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos (2 x) = - 2$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (2 x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \cos (2 x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 2}{- 2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Divisez $- 2$ par $- 2$ .

$\cos (2 x) = 1$

Étape 6

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x = \arccos (1)$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$2 x = 0$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 9

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = 2 π - 0$

Étape 10

Résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Simplifiez

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Étape 10.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 x = 2 π + 0$

Étape 10.1.2

Additionnez $2 π$ et $0$ .

$2 x = 2 π$

Étape 10.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 2 π$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 10.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 2 π$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

Étape 10.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Étape 10.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 π}{2}$

Étape 10.2.3.1.2

Divisez $π$ par $1$ .

$x = π$

Étape 11

La solution de l’équation est $2 x = 0$ .

$x = 0, π$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 \sin (2 (0))$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$4 \sin (0)$

Étape 13.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$4 \cdot 0$

Étape 13.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$0$

Étape 14

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 14.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

Étape 14.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $2 - 2 \cos (2 x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 2 - 2 \cos (2 (- 2))$

Étape 14.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = 2 - 2 \cos (- 4)$

Étape 14.2.2.1.2

Évaluez $\cos (- 4)$ .

$f' (- 2) = 2 - 2 \cdot - 0.65364362$

Étape 14.2.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 0.65364362$ .

$f' (- 2) = 2 + 1.30728724$

Étape 14.2.2.2

Additionnez $2$ et $1.30728724$ .

$f' (- 2) = 3.30728724$

Étape 14.2.2.3

La réponse finale est $3.30728724$ .

$3.30728724$

Étape 14.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, π)$ dans la dérivée première $2 - 2 \cos (2 x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 2 - 2 \cos (2 (2))$

Étape 14.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (2) = 2 - 2 \cos (4)$

Étape 14.3.2.1.2

Évaluez $\cos (4)$ .

$f' (2) = 2 - 2 \cdot - 0.65364362$

Étape 14.3.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 0.65364362$ .

$f' (2) = 2 + 1.30728724$

Étape 14.3.2.2

Additionnez $2$ et $1.30728724$ .

$f' (2) = 3.30728724$

Étape 14.3.2.3

La réponse finale est $3.30728724$ .

$3.30728724$

Étape 14.4

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(π, \infty)$ dans la dérivée première $2 - 2 \cos (2 x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.4.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = 2 - 2 \cos (2 (6))$

Étape 14.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$f' (6) = 2 - 2 \cos (12)$

Étape 14.4.2.1.2

Évaluez $\cos (12)$ .

$f' (6) = 2 - 2 \cdot 0.84385395$

Étape 14.4.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $0.84385395$ .

$f' (6) = 2 - 1.68770791$

Étape 14.4.2.2

Soustrayez $1.68770791$ de $2$ .

$f' (6) = 0.31229208$

Étape 14.4.2.3

La réponse finale est $0.31229208$ .

$0.31229208$

Étape 14.5

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 14.6

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = 2 x - \sin (2 x)$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 15