Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{5 x - 7}{35 x^{3}}$

Étape 1

Comme $\frac{1}{35}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 x - 7}{35 x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{35} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 7}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{35} \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 7}{x^{3}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 5 x - 7$ et $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 7] - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 7] - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [5 x - 7] - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} (5 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.6

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} (5 + 0) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{3} \cdot 5 - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.7.2

Déplacez $5$ à gauche de $x^{3}$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{5 \cdot x^{3} - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{5 x^{3} - (5 x - 7) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Étape 3.9

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.9.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{5 x^{3} - 3 (5 x - 7) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 3.9.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $5 x^{3} - 3 (5 x - 7) x^{2}$ .

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Étape 3.9.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $5 x^{3}$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{2} (5 x) - 3 (5 x - 7) x^{2}}{x^{6}}$

Étape 3.9.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 (5 x - 7) x^{2}$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{2} (5 x) + x^{2} (- 3 (5 x - 7))}{x^{6}}$

Étape 3.9.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (5 x) + x^{2} (- 3 (5 x - 7))$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{2} (5 x - 3 (5 x - 7))}{x^{6}}$

Étape 4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{2} (5 x - 3 (5 x - 7))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{35} \cdot \frac{x^{2} (5 x - 3 (5 x - 7))}{x^{2} x^{4}}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{35} \cdot \frac{5 x - 3 (5 x - 7)}{x^{4}}$

Étape 5

Multipliez $\frac{1}{35}$ par $\frac{5 x - 3 (5 x - 7)}{x^{4}}$ .

$\frac{5 x - 3 (5 x - 7)}{35 x^{4}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x - 3 (5 x) - 3 \cdot - 7}{35 x^{4}}$

Étape 6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$\frac{5 x - 15 x - 3 \cdot - 7}{35 x^{4}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 7$ .

$\frac{5 x - 15 x + 21}{35 x^{4}}$

Étape 6.2.2

Soustrayez $15 x$ de $5 x$ .

$\frac{- 10 x + 21}{35 x^{4}}$

Étape 6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 10 x$ .

$\frac{- (10 x) + 21}{35 x^{4}}$

Étape 6.4

Réécrivez $21$ comme $- 1 (- 21)$ .

$\frac{- (10 x) - 1 (- 21)}{35 x^{4}}$

Étape 6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (10 x) - 1 (- 21)$ .

$\frac{- (10 x - 21)}{35 x^{4}}$

Étape 6.6

Réécrivez $- (10 x - 21)$ comme $- 1 (10 x - 21)$ .

$\frac{- 1 (10 x - 21)}{35 x^{4}}$

Étape 6.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{10 x - 21}{35 x^{4}}$