Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 5} \frac{\sin (3 x)}{2 x}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 5} \frac{\sin (3 x)}{x}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 5} \sin (3 x)}{lim_{x \to 5} x}$

Étape 3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 5} 3 x)}{lim_{x \to 5} x}$

Étape 4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 5} x)}{lim_{x \to 5} x}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $5$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 5)}{lim_{x \to 5} x}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $5$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 5)}{5}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (15)}{5}$

Étape 6.1.2

La valeur exacte de $\sin (15)$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 6.1.2.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (45 - 30)}{5}$

Étape 6.1.2.2

Séparez la négation.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (45 - (30))}{5}$

Étape 6.1.2.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{5}$

Étape 6.1.2.4

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{5}$

Étape 6.1.2.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{5}$

Étape 6.1.2.6

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{5}$

Étape 6.1.2.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Étape 6.1.2.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 6.1.2.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Étape 6.1.2.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Étape 6.1.2.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Étape 6.1.2.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{5}$

Étape 6.1.2.8.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.1.2.8.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{5}$

Étape 6.1.2.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{5}$

Étape 6.1.2.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{5}$

Étape 6.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{5})$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 5}$

Étape 6.3.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{20}$

Étape 6.4

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{20}$ .

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Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{20}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 20}$

Étape 6.4.2

Multipliez $2$ par $20$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{40}$

Forme décimale :

$0.02588190 \dots$