Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 4} \sin (\frac{- 5 π}{x} - \frac{3 π}{4})$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\sin (lim_{x \to 4} \frac{- 5 π}{x} - \frac{3 π}{4})$

Étape 1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\sin (lim_{x \to 4} \frac{- 5 π}{x} - lim_{x \to 4} \frac{3 π}{4})$

Étape 1.3

Placez le terme $- 5 π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sin (- 5 π lim_{x \to 4} \frac{1}{x} - lim_{x \to 4} \frac{3 π}{4})$

Étape 1.4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\sin (- 5 π \frac{lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} \frac{3 π}{4})$

Étape 1.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\sin (- 5 π \frac{1}{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} \frac{3 π}{4})$

Étape 1.6

Évaluez la limite de $\frac{3 π}{4}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\sin (- 5 π \frac{1}{lim_{x \to 4} x} - \frac{3 π}{4})$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\sin (- 5 π \frac{1}{4} - \frac{3 π}{4})$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $- 5 π \frac{1}{4}$ .

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Étape 3.1.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 5$ .

$\sin (\frac{- 5}{4} π - \frac{3 π}{4})$

Étape 3.1.1.2

Associez $\frac{- 5}{4}$ et $π$ .

$\sin (\frac{- 5 π}{4} - \frac{3 π}{4})$

Étape 3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (- \frac{5 π}{4} - \frac{3 π}{4})$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sin (\frac{- 5 π - 3 π}{4})$

Étape 3.3

Soustrayez $3 π$ de $- 5 π$ .

$\sin (\frac{- 8 π}{4})$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $4$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8 π$ .

$\sin (\frac{4 (- 2 π)}{4})$

Étape 3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\sin (\frac{4 (- 2 π)}{4 (1)})$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (\frac{4 (- 2 π)}{4 \cdot 1})$

Étape 3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (\frac{- 2 π}{1})$

Étape 3.4.2.4

Divisez $- 2 π$ par $1$ .

$\sin (- 2 π)$

Étape 3.5

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\sin (0)$

Étape 3.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0$