Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 4} \frac{5 (x - 4) \sqrt{x + 12}}{4 - \sqrt{x + 12}}$

Étape 1

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \sqrt{x + 12}}{4 - \sqrt{x + 12}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$5 \frac{lim_{x \to 4} (x - 4) \sqrt{x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$5 \frac{lim_{x \to 4} x - 4 \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Étape 2.1.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Étape 2.1.2.3

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Étape 2.1.2.4

Placez la limite sous le radical.

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Étape 2.1.2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Étape 2.1.2.6

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$5 \frac{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Étape 2.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $4$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$5 \frac{(4 - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Étape 2.1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$5 \frac{(4 - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{4 + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Étape 2.1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.8.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$5 \frac{(4 - 4) \cdot \sqrt{4 + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Étape 2.1.2.8.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$5 \frac{0 \cdot \sqrt{4 + 12}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Étape 2.1.2.8.3

Additionnez $4$ et $12$ .

$5 \frac{0 \cdot \sqrt{16}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Étape 2.1.2.8.4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$5 \frac{0 \cdot \sqrt{4^{2}}}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Étape 2.1.2.8.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$5 \frac{0 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Étape 2.1.2.8.6

Multipliez $0$ par $4$ .

$5 \frac{0}{lim_{x \to 4} 4 - \sqrt{x + 12}}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$5 \frac{0}{lim_{x \to 4} 4 - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}$

Étape 2.1.3.1.2

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$5 \frac{0}{4 - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 12}}$

Étape 2.1.3.1.3

Placez la limite sous le radical.

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}$

Étape 2.1.3.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 12}}$

Étape 2.1.3.1.5

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 4} x + 12}}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{4 + 12}}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.3.1.1

Additionnez $4$ et $12$ .

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{16}}$

Étape 2.1.3.3.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$5 \frac{0}{4 - \sqrt{4^{2}}}$

Étape 2.1.3.3.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$5 \frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Étape 2.1.3.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$5 \frac{0}{4 - 4}$

Étape 2.1.3.3.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$5 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$5 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$5 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$5 (\frac{0}{0})$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \sqrt{x + 12}}{4 - \sqrt{x + 12}} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 4) \sqrt{x + 12}]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 4) \sqrt{x + 12}]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 12}$ comme ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 4) {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 4$ et $g (x) = {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [{(x + 12)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 12$ .

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Étape 2.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 12$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 12$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2} {(x + 12)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.10

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{{(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.11

Placez ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 12] + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]) + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [12]) + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.14

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.15

Additionnez $1$ et $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.16

Multipliez $x - 4$ par $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.17

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.18

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.19

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.20

Additionnez $1$ et $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.21

Multipliez ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.22

Simplifiez

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Étape 2.3.22.1

Multipliez $x - 4$ par $\frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.22.2

Pour écrire ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.22.3

Associez ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.22.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.22.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.22.5.1

Multipliez ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.22.5.1.1

Déplacez ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} {(x + 12)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.22.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.22.5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.22.5.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.22.5.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + {(x + 12)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.22.5.2

Simplifiez ${(x + 12)}^{1} \cdot 2$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + (x + 12) \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.22.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + x \cdot 2 + 12 \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.22.5.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + 2 \cdot x + 12 \cdot 2}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.22.5.5

Multipliez $12$ par $2$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{x - 4 + 2 \cdot x + 24}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.22.5.6

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x - 4 + 24}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.22.5.7

Additionnez $- 4$ et $24$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.23

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - \sqrt{x + 12}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 12}]$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.24

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 12}]}$

Étape 2.3.25

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 12}]$ .

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Étape 2.3.25.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 12}$ comme ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 2.3.25.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(x + 12)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [{(x + 12)}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 2.3.25.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 12$ .

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Étape 2.3.25.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 12$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 12]}$

Étape 2.3.25.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 12]}$

Étape 2.3.25.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 12$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 12]}$

Étape 2.3.25.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12])}$

Étape 2.3.25.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [12])}$

Étape 2.3.25.6

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)}$

Étape 2.3.25.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)}$

Étape 2.3.25.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}$

Étape 2.3.25.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)}$

Étape 2.3.25.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.25.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)}$

Étape 2.3.25.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)}$

Étape 2.3.25.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)}$

Étape 2.3.25.12

Additionnez $1$ et $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2} {(x + 12)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1}$

Étape 2.3.25.13

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{{(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1}$

Étape 2.3.25.14

Multipliez $\frac{{(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{{(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Étape 2.3.25.15

Placez ${(x + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.26

Soustrayez $\frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{\frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{1}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$5 lim_{x \to 4} \frac{3 x + 20}{2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 \cdot 2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.5

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 2.5.1

Réécrivez ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x + 12}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{3 x + 20}{2 \sqrt{x + 12}} \cdot - 1 \cdot 2 {(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.5.2

Réécrivez ${(x + 12)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x + 12}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{3 x + 20}{2 \sqrt{x + 12}} \cdot - 1 \cdot 2 \sqrt{x + 12}$

Étape 2.6

Combinez les facteurs.

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Étape 2.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{3 x + 20}{2 \sqrt{x + 12}} \cdot - 2 \sqrt{x + 12}$

Étape 2.6.2

Associez $- 2$ et $\frac{3 x + 20}{2 \sqrt{x + 12}}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{- 2 (3 x + 20)}{2 \sqrt{x + 12}} \sqrt{x + 12}$

Étape 2.6.3

Associez $\frac{- 2 (3 x + 20)}{2 \sqrt{x + 12}}$ et $\sqrt{x + 12}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{- 2 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{2 \sqrt{x + 12}}$

Étape 2.7

Réduisez.

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Étape 2.7.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.7.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{2 \cdot - 1 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{2 \sqrt{x + 12}}$

Étape 2.7.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.7.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{x + 12}$ .

$5 lim_{x \to 4} \frac{2 \cdot - 1 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{2 (\sqrt{x + 12})}$

Étape 2.7.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 lim_{x \to 4} \frac{2 \cdot - 1 (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{2 \sqrt{x + 12}}$

Étape 2.7.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 lim_{x \to 4} \frac{- (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{\sqrt{x + 12}}$

Étape 2.7.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{x + 12}$ .

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Étape 2.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$5 lim_{x \to 4} \frac{- (3 x + 20) \sqrt{x + 12}}{\sqrt{x + 12}}$

Étape 2.7.2.2

Divisez $- (3 x + 20)$ par $1$ .

$5 lim_{x \to 4} - (3 x + 20)$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$5 \cdot - 1 lim_{x \to 4} 3 x + 20$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$5 \cdot - 1 (lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} 20)$

Étape 3.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$5 \cdot - 1 (3 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 20)$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $20$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$5 \cdot - 1 (3 lim_{x \to 4} x + 20)$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$5 \cdot - 1 (3 \cdot 4 + 20)$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 (3 \cdot 4 + 20)$

Étape 5.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$- 5 (12 + 20)$

Étape 5.3

Additionnez $12$ et $20$ .

$- 5 \cdot 32$

Étape 5.4

Multipliez $- 5$ par $32$ .

$- 160$