Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 4} \sqrt{\frac{7 x^{2}}{6 + x}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt{lim_{x \to 4} \frac{7 x^{2}}{6 + x}}$

Étape 2

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{7 lim_{x \to 4} \frac{x^{2}}{6 + x}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\sqrt{7 \frac{lim_{x \to 4} x^{2}}{lim_{x \to 4} 6 + x}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{7 \frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{lim_{x \to 4} 6 + x}}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\sqrt{7 \frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{lim_{x \to 4} 6 + lim_{x \to 4} x}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\sqrt{7 \frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2}}{6 + lim_{x \to 4} x}}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $4$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\sqrt{7 \frac{4^{2}}{6 + lim_{x \to 4} x}}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\sqrt{7 \frac{4^{2}}{6 + 4}}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $7$ et $\frac{4^{2}}{6 + 4}$ .

$\sqrt{\frac{7 \cdot 4^{2}}{6 + 4}}$

Étape 8.2

Additionnez $6$ et $4$ .

$\sqrt{\frac{7 \cdot 4^{2}}{10}}$

Étape 8.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{7 \cdot 16}{10}}$

Étape 8.4

Multipliez $7$ par $16$ .

$\sqrt{\frac{112}{10}}$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun à $112$ et $10$ .

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Étape 8.5.1

Factorisez $2$ à partir de $112$ .

$\sqrt{\frac{2 (56)}{10}}$

Étape 8.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 56}{2 \cdot 5}}$

Étape 8.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 56}{2 \cdot 5}}$

Étape 8.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{56}{5}}$

Étape 8.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{56}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{56}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{56}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.7.1

Réécrivez $56$ comme $2^{2} \cdot 14$ .

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Étape 8.7.1.1

Factorisez $4$ à partir de $56$ .

$\frac{\sqrt{4 (14)}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.7.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 14}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.7.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.8

Multipliez $\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 8.9

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.9.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{14}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 8.9.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 8.9.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 8.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 8.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 8.9.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 8.9.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.9.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.9.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.9.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.9.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.9.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 8.9.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{14} \sqrt{5}}{5}$

Étape 8.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.10.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 \sqrt{5 \cdot 14}}{5}$

Étape 8.10.2

Multipliez $5$ par $14$ .

$\frac{2 \sqrt{70}}{5}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 \sqrt{70}}{5}$

Forme décimale :

$3.34664010 \dots$