Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{3 π}{4}} \sec (x - \frac{π}{1})$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez $π$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{3 π}{4}} \sec (x - π)$

Étape 1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\sec (lim_{x \to \frac{3 π}{4}} x - π)$

Étape 1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{3 π}{4}$ .

$\sec (lim_{x \to \frac{3 π}{4}} x - lim_{x \to \frac{3 π}{4}} π)$

Étape 1.4

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{3 π}{4}$ .

$\sec (lim_{x \to \frac{3 π}{4}} x - π)$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{3 π}{4}$ pour $x$ .

$\sec (\frac{3 π}{4} - π)$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Pour écrire $- π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\sec (\frac{3 π}{4} - π \cdot \frac{4}{4})$

Étape 3.2

Associez $- π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\sec (\frac{3 π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4})$

Étape 3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sec (\frac{3 π - π \cdot 4}{4})$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\sec (\frac{3 π - 4 π}{4})$

Étape 3.4.2

Soustrayez $4 π$ de $3 π$ .

$\sec (\frac{- π}{4})$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (- \frac{π}{4})$

Étape 3.6

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\sec (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.7

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\sec (\frac{π}{4})$

Étape 3.8

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}}$

Étape 3.9

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.10

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.10.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.10.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.10.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.10.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.10.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.10.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.10.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.10.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.10.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.10.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.10.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.11.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{2}$

Forme décimale :

$1.41421356 \dots$